Este libro hace una presentación del método de los elementos finitos como técnica para la solución de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) de tipo elíptico, parabólico e hiperbólico. El desarrollo del texto incluye tanto una formulación matemática consistente, como aplicaciones clásicas en el campo de la transferencia de calor, la elasticidad y la mecánica de fluidos.
La obra inicia con una breve exposición del método de los residuos ponderados y luego ilustra su aplicación en la solución con elementos finitos de ecuaciones diferenciales.
A continuación, se presentan planteamientos con elementos de orden superior, así como consideraciones para el planteamiento de soluciones con condensación estática y elementos jerárquicos. Posteriormente se tratan las EDP elípticas, tanto para el caso de problemas escalares (problemas de conducción de calor) como para problemas vectoriales (elasticidad plana). La construcción de aproximaciones para problemas en estado transitorio es revisada en la siguiente sección, así como el análisis de las condiciones de estabilidad requeridas. De igual forma, se analiza la formulación de elementos finitos para problemas con términos de transporte y se explica detalladamente el origen y la implementación de la técnica de estabilización Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG). En la última sección se expone un breve estudio sobre la construcción de soluciones para EDP no lineales.
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Este capítulo inicia con la presentación de algunos conceptos fundamentales del análisis funcional, así como con una introducción al método de los residuos ponderados, el cual es empleado para la aproximación de funciones.
Posteriormente, se extiende el método de los residuos ponderados para la construcción de soluciones a problemas de condiciones de contorno, considerando inicialmente el dominio completo del problema (para lo cual son usadas familias de polinomios como Legendre, Hermite, Chebyshev, Laguerre, etc., o familias de funciones trascendentales, llegando a series de Fourier), para luego formular soluciones en dominios discretos (empleando como funciones base los polinomios de Lagrange).
A continuación se presentan las consideraciones necesarias para construir formulaciones empleando elementos de orden superior (polinomios de Lagrange de segundo, tercer y más alto grado) y elementos jerárquicos. Un análisis simple permitirá evaluar el costo computacional asociado al uso de dichos elementos y formular una técnica algebraica para su reducción, denominada condensación estática.
Al final del capítulo se hacen algunas reflexiones sobre la continuidad de las aproximaciones discretas construidas, tanto con elementos lineales como con elementos de orden superior, y se analiza el problema de la viga de Euler, construyendo soluciones elementales del tipo C1 usando polinomios cúbicos de Hermite.
1.1Funcio iduos ponderados
Dado que en muchas de las técnicas numéricas para la solución de ecuaciones diferenciales, como los elementos finitos y los elementos espectrales, entre otros, se usan combinaciones lineales de funciones (linealmente independientes) para la construcción de aproximaciones, resulta importante plantear las definiciones de producto interno, ortogonalidad, ortonormalidad, espacios funcionales y conjuntos ortogonales, así como mostrar algunas bases polinomiales típicas (polinomios de Legendre, Laguerre, Hermite, etc.) con el fin de sentar los fundamentos teóricos de los métodos discutidos más adelante.
1.1.1 Espacio euclídeo
Formalmente, el espacio euclídeo puede verse con un espacio vectorial (Rn) normado. Desde una perspectiva pedagógica resulta mucho más simple comenzar planteando conceptos de norma y ortogonalidad para vectores en tres dimensiones, para luego extrapolar estos conceptos a espacios funcionales.
Considérense los vectores
y
en R3 (figura 1.1), cuyas componentes en un sistema coordenado cartesiano están dadas por
Figura 1.1 Vectores en espacio R3
Bajo la consideración de espacio euclídeo, la norma (o longitud) de estos dos vectores se expresa como
