Retos matemáticos con soluciones

Juan Flaquer, David Puente

• Editorial: EUNSA Ediciones Universidad de Navarra
• Año: 2015
• ISBN del libro electrónico:
  9788431355531
• Categoría: Mathématiques
• Categoría: Mathématiques générales

El objetivo de Retos matemáticos con solucioneses poner en acción las potencialidades que tienen los lectores a la hora de resolver problemas matemáticos.El libro ha sido concebido como una colección de pequeños retos matemáticos procedentes de distintas fuentes. Todo intento de resolución de un problema viene recompensado, o bien por el éxito, o bien por la convicción de que el esfuerzo no ha sido baldío.En todo caso, con éxito o sin él, el intento de resolución ayuda, sin duda, a mejorar la capacidad de razonamiento, con la satisfacción añadida de disfrutar del apasionante mundo de las Matemáticas.

Capítulo 1: Concurso Matenet 2000

Problema 1.1

En una finca, cuya planta tenía la forma de un trapecio PQRS (ver figura, que no ha sido dibujada a escala), se enterró un tesoro exactamente bajo el poste (situado en el punto interior T) común a dos vallados internos, AQTB y TCDS, de forma cuadrada y dispuestos como se indica en la figura.

Con el paso del tiempo y el abandono de la finca, sólo quedaron los postes situados en Q y S, cuya distancia entre ellos es de 100 metros. Todas las demás indicaciones habían desaparecido. Pero alguien recuerda que el área de la finca era de 12.500 metros cuadrados y que el tesoro estaba enterrado más cerca de S que de Q. ¿A qúe distancia de Q en metros, se encuentra el tesoro escondido?

Solución

Notación: a = QT, b = TS, f = PQ, h = RS.

La distancia QS (100 m) puede expresarse como suma de las distancias QT y TS, esto es

El área de la finca (12.500 m2) puede calcularse en función de las bases del trapecio: las distancias PQ y RS y la altura QS

Los triángulos BTS y PQS son semejantes por ser los segmentos PQ y BC paralelos. Se tiene entonces

Análogamente, los triángulos QCT y QRS son también semejantes porque los segmentos QS y CD son paralelos, luego

Igualando los segundos miembros de (1.3) y (1.4)

Al resolver el sistema formado por (1.2) y (1.5), se obtienen dos soluciones:

Se concluye entonces que

es la distancia de Q al tesoro, esto es, la solución del problema.

Problema 1.2

Dos amigos A y B salen de sus respectivas casas y se ponen a correr en el mismo instante, con sus relojes marcando en ese preciso momento exactamente las doce del mediodía. Ambos corren a velocidad constante, en línea recta, cada uno en la dirección de la casa del otro, con ánimo de encontrarse en un lugar intermedio.

Resulta que A corre a velocidad doble de la velocidad de B. Se encuentran media hora despúes de haber salido y en ese momento el reloj de A (que funciona bien) marca, como es lógico, las doce horas y treinta minutos, mientras que el reloj de B (que adelanta) marca las doce horas y treinta y un minutos. Despúes regresa cada uno a su propia casa.

Al día siguiente, A y B tratan de repetir la misma operación. B pone en hora su reloj, justamente a las doce horas del mediodía (de modo que los relojes de A y B en ese momento marcan otra vez lo mi...

Índice

• Introducción
• Capítulo 1: Concurso Matenet 2000
• Capítulo 2: Concurso Matenet 2001
• Capítulo 3: Concurso Matenet 2002
• Capítulo 4: Concurso Matenet 2003
• Capítulo 5: Concurso Berriak
• Capítulo 6: Concurso ¡Aventúrate!
• Bibliografía