Los alumnos no suelen tener la oportunidad de experimentar por sí mismos el lado creativo de las matemáticas. Uno de los objetivos de las actividades de este libro es transformar el concepto de "resuelto", pasar de verlo como algo acabado a observarlo como una oportunidad para continuar explorando y esforzándose de forma creativa. Esta obra plantea también que en nuestra vida diaria muchas veces se nos presentan problemas abiertos o mal definidos ante los cuales nos vemos obligados a pensar de forma clara y creativa, a cambiar de perspectiva; o sea, a pensar como un matemático. Por eso las matemáticas avanzadas pueden ser interesantes, accesibles, prácticas y, sencillamente, divertidas para alumnos, docentes y lectores curiosos; suponer un reto para cualquiera, independientemente de su nivel de formación. Todo el mundo puede hacer matemáticas. ¿Te animas a comprobarlo?
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Los tres hijos deberían tomar prestada una oveja de las hijas de la vecina para aumentar su rebaño a un total de 18 ovejas. Con esto, el hijo mayor recibiría nueve ovejas, el mediano seis y el pequeño dos. ¡Y así aún sobraría una oveja para devolver a las hijas de la vecina!
Una vuelta de tuerca: solución. Las tres hijas pueden conseguir algo parecido, ¡siempre que tengan los medios para pedir prestadas 1650 ovejas a otros pastores! Esto aumentaría su rebaño a 2145 ovejas de las que la hija mayor recibiría 429 (1/5), la mediana 65 (1/33) y la pequeña una oveja (1/2145). Con esto, sobran 1650 ovejas, que se pueden devolver a sus propietarios.
Pregunta: ¿Son legalmente satisfactorias estas soluciones? ¿Puede un patrimonio en herencia incurrir en deudas antes de que se distribuyan los bienes?
Es fácil plantear problemas similares a estos. Simplemente recopila una lista de tus fracciones favoritas (que sumen menos que 1) y representa su suma como una fracción del mínimo común múltiplo del denominador. Por ejemplo, la suma
da lugar al problema: “Cuatro hijos deben repartirse una herencia de cincuenta y seis ovejas según las proporciones
”.
Estos problemas que involucran proporciones en forma de fracciones unitarias (fracciones con numerador igual a uno) y el traspaso de una oveja para poder resolverlos son particularmente llamativos. Por ejemplo, las ecuaciones
generan este tipo de problema.
Por cierto, sí que es posible conectar nueve puntos con cuatro rectas.
Desafío. Conecta una matriz de puntos de tamaño 4 × 4 con solo seis segmentos rectilíneos contiguos.
Desafío avanzado. ¿Existe una fórmula para el número mínimo de segmentos de recta contiguos necesarios para conectar una matriz de puntos n×n?
Un apunte sobre fracciones unitarias
Las fracciones unitarias han jugado un papel destacado en la historia de las matemáticas. Los egipcios de hace 4000 años sintieron la necesidad de expresar todas las cantidades fraccionarias como sumas de fracciones unitarias diferentes. Por ejemplo, 3/10 se escribía 1/4 + 1/20 y 5/7 se escribía 1/2 + 1/5 + 1/70. Sus métodos para calcular estas expansiones en fracciones unitarias eran ingeniosos, pero el sistema de notación es, cuanto menos, engorroso. Muchos historiadores creen que esto impidió a los egipcios hacer progresos significativos en sus matemáticas. ¿Se puede expresar cualquier fracción como una suma finita de fracciones unitarias diferentes? No está claro si los egipcios se preguntaron esto en algún momento.
En 1202 Fibonacci empezó su propia investigación sobre fracciones unitarias y demostró que todo número racional admite efectivamente una representación en frac...
Índice
Portadilla
Introducción
Parte I: Actividades, discusiones y planteamiento de problemas
Parte II: Pistas, algunas soluciones y otras ideas
Parte III: Soluciones y comentarios
Bibliografía
Sobre el autor
Otros títulos de la colección: Estímulos Matemáticos
