Álgebra lineal

Ismael Gutiérrez García, Jorge Robinson Evilla

• Editorial: Universidad del Norte
• Año: 2012
• ISBN:
  9789587418941
• Categoría: Mathematik
• Categoría: Lineare Algebra

Este texto contiene las definiciones y teoremas necesarios para comprender los más importantes y fundamentales espacios vectoriales que se utilizan para la construcción y el desarrollo de diferentes ramas de la matemática moderna. Al tiempo que presenta las demostraciones de los teoremas, muestra un gran número de ejemplos y ejercicios que facilitan un conocimiento básico completo del Álgebra lineal.

Capítulo 1

Preliminares

Contenido

1.1. Cuerpos

1.2. Ecuaciones lineales

1.3. Ejercicios

Este capítulo corresponde a las definiciones y los teoremas básicos sobre cuerpos. Comenzamos con la definición de grupo y algunas propiedades importantes de ellos, además de algunos ejemplos de grupos de uso frecuente tales como el grupo simétrico de grado n, con n ∈ ℕ y el grupo de las clases residuales módulo un número primo p.

1.1. Cuerpos

Iniciamos esta sección presentando la definición de grupo.

1.1.1 Definición. Sea G un conjunto no vacío tal que a cada par (x, y) ∈ G × G está asociado un único x · y ∈ G, esto es, sobre G está definida una operación binaria “ · ”. (En lo sucesivo escribimos simplemente xy en lugar de x · y). El par (G, ·) se denomina un grupo si se verifican:

(G1) Para todo x, y, z ∈ G se cumple x(yz) = (xy)z.

(G2) Existe un elemento e ∈ G tal que xe = ex = x, para todo x ∈ G.

(G3) Para cada x ∈ G existe un y ∈ G tal que xy = yx = e.

Si para cada x, y ∈ G se cumple, además, que xy = yx, entonces decimos que G es un grupo abeliano o conmutativo. Es usual escribir los grupos abelianos de forma aditiva, es decir, escribimos x + y en lugar de xy. Si solo se verifica el axioma (G1), entonces llamamos a G un semigrupo. Si G es un conjunto finito, entonces al número de elementos de G lo denominamos orden de G y lo notamos con |G|.

1.1.2 Ejemplos. Algunos ejemplos de grupos:

1. ℤ, ℚ, ℝ y ℂ son grupos abelianos con respecto a la suma usual.

2. Si K es ℚ, ℝ o ℂ, entonces K^× := {x ∈ K | x ≠ 0} es un grupo abeliano con respecto a la multiplicación usual.

3. Sea Ω un conjunto no vacío. El conjunto de todas las biyecciones de Ω en sí mismo, notado con Sym(Ω), es...