Iniciación al estudio didáctico de la Geometría

De las construcciones a las demostraciones

Guy Brousseau

• Editorial: Libros del Zorzal
• Año: 2021
• ISBN:
  9789875993389
• Categoría: Pedagogía
• Categoría: Enseñanza de matemáticas

Lograr que otros –los jóvenes que asisten a la escuela secundaria– se involucren en un proyecto de estudio tomando los modos de pensar y producir conocimiento típicos del quehacer geométrico es una tarea compleja y desafiante a la vez. Discutir algunas ideas que hagan viable una empresa tal es un propósito de este libro.¿Con qué criterios elegir problemas fértiles para que los alumnos comprendan el funcionamiento de la Geometría? ¿Cuáles son las propiedades imprescindibles para "arrancar"? ¿Cómo "entrarán" en la escena del aula? ¿Qué relaciones se pueden plantear entre las construcciones a la Euclides y la producción de conocimiento geométrico? ¿Y entre dibujo y discurso? ¿Qué relaciones entre exploraciones y demostraciones? ¿Y entre Álgebra y Geometría?Este libro invita a pensar los problemas didácticos que plantea la enseñanza de la Geometría cuando la misma sitúa como núcleo fundamental la construcción por parte de los estudiantes de herramientas que les permitan actuar sobre una porción de la realidad a través del sistema conceptual que ofrece una disciplina científica.

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Introducción

Es reconocido por quienes tienen un vínculo con la enseñanza de la matemática, el hecho de que el trabajo geométrico ha ido perdiendo espacio y sentido, tanto en los colegios como en la formación docente.

Los motivos resultan variados y no es la finalidad de este libro profundizar en ellos ni proponer medidas que garanticen un cambio. Pero es probable que entre las razones de esta pérdida se encuentren:

 La dificultad, por parte de los docentes, de encontrar suficientes situaciones o problemas que representen verdaderos desafíos. Es decir, si se trata de pensar en un recorrido que permita a los alumnos iniciarse e involucrarse en el trabajo con las funciones lineales, podríamos imaginar variados problemas, actividades, situaciones, etc. En geometría, en cambio, no es muy claro a qué podríamos llamar “problema”.

 En numerosas oportunidades, la enunciación de los contenidos que se presentan en las currículas es poco específica. Hay un predominio de vocabulario y definiciones y pocas veces es claro el sentido que adquieren los conocimientos geométricos.

 Como consecuencia de los comentarios recientemente esbozados y, al ser más reconocido el trabajo en otras ramas de la matemática (aritmética, álgebra, funciones) si algo “se cae” del programa por falta de tiempo es la geometría. Al punto de que nadie dudaría en promover a un alumno de quinto año de EGB a sexto por no conocer la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo.

Si bien no se pretende revertir tal situación a través de estas páginas, se remarca dicho fenómeno con el fin de advertir que si esta tendencia continúa, se priva a los alumnos de la posibilidad de conocer otro modo de pensar, se les quita la oportunidad de vivir la experiencia de involucrarse con otras formas de razonamiento, que son específicas de este dominio. A su vez, la práctica geométrica, tal como la estamos entendiendo –de esto se trata este libro–, tiene un alto valor formativo y es por tal motivo que todos los alumnos tienen derecho a acceder a ella.

No es que se plantea sólo volver a enseñar a los alumnos las definiciones clásicas de la geometría. No se intenta que conozcan únicamente los teoremas más importantes. Se busca promover el vínculo de los jóvenes con un modo cultural diferente. Y este modo de trabajo incluye, entre otras, algunas de las siguientes características:

 Los objetos de la geometría (puntos, figuras, cuerpos, etc.) no pertenecen a un espacio físico real, sino a un espacio teórico, conceptualizado. Esto trae ya un primer problema didáctico: ¿cómo ayudar a los alumnos a comprender que los objetos con los que trabaja la geometría son teóricos y no reales?

 Los dibujos trazados son representantes de esos objetos teóricos. Es decir, la marca que deja un lápiz cuando traza un triángulo no hace más que representarlo. Y es bien conocido que los alumnos asignan a estos dibujos numerosas propiedades o características que no tienen categoría de tales para la geometría, como la posición en la hoja. Incluso, los dibujos son “leídos” por los alumnos de una cierta manera que no siempre es aceptada por la geometría. La pregunta sería entonces: ¿cómo ayudar a los alumnos a despegarse del trabajo meramente perceptivo o visual?

 Muchos problemas geométricos pueden ser, en un comienzo, explorados empíricamente, analizando diferentes dibujos que resultan sumamente útiles (como se verá más adelante) o recurriendo a mediciones. Estas experiencias permiten la obtención de resultados, la formulación de propiedades que, a esta altura del trabajo, adquirirán estatus de conjeturas. ¿Cómo se decide la verdad o falsedad de la conjetura planteada? ¿Cómo se va instalando la idea de que la decisión acerca de la verdad o falsedad de una respuesta, de una nueva relación o de una propiedad no se establece empíricamente, por intermedio de dibujos o de la medición, sino que se apoya en las propiedades de los objetos geométricos? ¿Cómo se van generando condiciones que les permitan a los alumnos ingresar a un trabajo de características deductivas?

 En el trabajo geométrico, los enunciados, relaciones y propiedades son generales, y se establece un dominio de validez, es decir, se explicitan las condiciones a partir de las cuales una colección de objetos (los triángulos rectángulos, por ejemplo) cumplen una cierta propiedad o relación. Adquieren un cierto nivel de convencionalidad en la formulación apelando a un vocabulario mínimo necesario para poder socializarlas. En consecuencia, ¿cómo acompañar a los alumnos en la producción de estas generalidades, cuando en numerosas oportunidades el trabajo geométrico se realiza apoyando los razonamientos en dibujos particulares, tratados por quienes saben geometría como casos generales? ¿El vocabulario y la formalidad constituyen una necesidad previa, simultánea o posterior al trabajo geométrico?

Si bien no se dispone de respuestas acabadas para cada uno de los interrogantes, la intención de este libro consiste en proponer y analizar algunas situaciones que favorezcan la entrada de los alumnos en el trabajo geométrico que se detalló anteriormente. Es decir, la preocupación principal gira en torno a cómo generar condiciones que permitan a los alumnos involucrarse en la producción de conocimientos geométricos, no sólo de aquellos que son reconocidos en el sistema educativo con nombre y apellido (Teorema de Pitágoras, Suma de los ángulos interiores del triángulo, etc.) sino también de aquellos referidos al tipo de tarea que se despliega, a esa racionalidad propia del trabajo geométrico, pocas veces explicitada, pocas veces reconocida como parte troncal del “saber geometría” y que podríamos sintetizar con la siguiente frase: “inferir, a partir de los datos y con el apoyo de las propiedades, relaciones que no están explicitadas y que llevarán a establecer el carácter necesario de los resultados de manera independiente de la experimentación”1 .

La caracterización del trabajo geométrico detallada anteriormente permite, en cierta medida...