La gravedad cuántica

Pedro Naranjo

• Editorial: RBA Libros
• Año: 2019
• ISBN:
  9788491874102
• Categoría: Naturwissenschaften
• Categoría: Quantentheorie

A principios del siglo XX, dos teorías físicas sacudieron los cimientos del conocimiento humano. La relatividad de Einstein revolucionó nuestra comprensión del espacio, el tiempo y la materia. La mecánica cuántica, ideada por Planck, expulsó el determinismo de las ecuaciones que rigen el microcosmos. La unión de ambas teorías es, seguramente, el mayor desafío de la física teórica, el que permite la desaparición de los conceptos de espacio y tiempo.La revolución en la comprensión del universo.

Átomos

de espacio-tiempo

En el capítulo anterior hemos enfatizado la importancia de incorporar el legado conceptual de la relatividad general, es decir, la naturaleza dinámica del espacio-tiempo, en la búsqueda de la teoría cuántica de la gravedad. Y, por supuesto, también el legado de la mecánica cuántica, con sus objetos discretos y probabilísticos. Pero ocurre que, durante décadas, la actitud dominante de los físicos teóricos era ningunear la relatividad general, no la mecánica cuántica. El motivo, como hemos visto, es simple: los principios de la mecánica cuántica permitieron la construcción de las teorías que gobiernan las otras fuerzas fundamentales, culminando en el modelo estándar. Pero, como Bronstein advirtió, la gravedad es, sencillamente, una fuerza distinta.

En este capítulo describiremos con cierto detalle una de las teorías que tiene en cuenta tanto la relatividad general como la mecánica cuántica, la conocida como gravedad cuántica de bucles. En cierto sentido, el origen de esta teoría se remonta a 1967, cuando los físicos estadounidenses John Archibald Wheeler y Bryce DeWitt propusieron la ahora famosa ecuación de Wheeler- DeWitt, en su búsqueda de la gravedad cuántica según la visión del físico relativista, esto es, aquel que asumía el legado de Einstein. Sin embargo, pronto quedó patente la dificultad de hallar soluciones de la ecuación de Wheeler-DeWitt. Durante años, el sueño de Einstein permaneció estancado. El año 1982 vio el renacer de este ambicioso proyecto, cuando el físico Amitabha Sen inició la tarea de reformular la relatividad general de forma que se asemejase a las teorías de las otras tres fuerzas fundamentales. El trabajo de Sen lo culminó en 1986 el físico indio Abhay Ashtekar. Como ya se habían encontrado las teorías cuánticas del electromagnetismo y las dos fuerzas nucleares, el descubrimiento de Ashtekar-Sen llenó de entusiasmo a los físicos que pasaban las noches en vela desde la aparición de la ecuación de Wheeler-DeWitt. Inmediatamente, entre 1987 y 1988, tres físicos, los estadounidenses Ted Jacobson y Lee Smolin y el italiano Carlo Rovelli, aplicaron con éxito las novedosas ideas de Ashtekar-Sen para encontrar ciertas soluciones exactas de la ecuación de Wheeler-DeWitt, lo que significó el arranque de la gravedad cuántica de bucles.

LA CURIOSA GEOMETRÍA DEL MICROCOSMOS

Recordemos la principal idea del capítulo anterior: el espacio y el tiempo que conocemos son meras aproximaciones de los verdaderos estados cuánticos de la gravitación, de forma que tales estados no viven sobre ningún espacio-tiempo, sino que son los estados cuánticos del propio espacio-tiempo.

Dada la íntima relación entre la geometría del espacio-tiempo y el campo gravitatorio, al abordar la cuestión de la gravedad cuántica nos enfrentamos al desafío de entender cuáles son las propiedades cuánticas de cantidades geométricas como áreas o volúmenes. Para ello, recalquemos las distintas maneras en las que se manifiesta la naturaleza cuántica de una magnitud física:

— La posible discretización o cuantización de dicha magnitud, esto es, que la magnitud no puede tomar cualquier valor. El conjunto de todos los valores que puede tomar una magnitud física se denomina espectro.

— La incertidumbre en el valor de ciertos pares de magnitudes, de acuerdo con las relaciones de indeterminación de Heisenberg.

— El carácter probabilístico de la evolución de la magnitud, al contrario que las ecuaciones deterministas de la física clásica.

Jugando con tetraedros elementales

Como primera toma de contacto con el problema, analicemos un sencillo ejemplo que ilustra el primer punto de los mencionados. Consideremos un trozo pequeño de espacio, por ejemplo uno con forma de tetraedro, no necesariamente regular. La geometría de este tetraedro viene dada por la longitud de sus lados, el área de sus caras, los ángulos entre vértices, etc. Y como geometría y campo gravitatorio son la misma cosa, estas cantidades geométricas dependen de dicho campo. Resulta que existen relaciones que ligan diferentes cantidades de la geometría del tetraedro, de modo que para caracterizar adecuadamente esta geometría hemos de tomar magnitudes que sean independientes. Por tanto, consideremos los vectores normales, es decir, perpendiculares, a las cuatro caras del tetraedro, como se indica en la figura 1.

Al pasar al ámbito cuántico, las magnitudes físicas se expresan en términos de operadores, que son una especie de funciones generalizadas. La propiedad más relevante para nosotros es que estos operadores no cumplen la familiar conmutatividad de la multiplicación. En la escuela aprendemos que «el orden de los factores no altera el producto». Pues bien, a estos operadores no les gusta este inocente dicho.

En el caso de nuestro tetraedro, la magnitud física que nos interesa es el campo gravitatorio, pues describe la geometría de aquel, incluyendo los vectores normales. Por tanto, en la teoría cuántica tenemos un campo gravitatorio cuántico descrito por un operador. Y la naturaleza cuántica de este operador se refleja, entre otras cosas, en el carácter discreto de su espectro. En particular, lo que esto significa es que los vectores normales, que dependen de este operador gravitatorio, definen una magnitud geométrica con un espectro discreto.

Para descubrir de qué magnitud hablamos, recordemos que una región bidimensional cualquiera se expresa en términos de dos vectores perpendiculares entre sí (figura 2). El área de esta región es el módulo («intensidad») del producto vectorial de tales vectores. El producto vectorial de dos vectores es un tercer vector perpendicular a ambos. Por tanto, este tercer vector ha de ser perpendicular a la región en cuestión.

En nuestro caso, la región es una cara cualquiera del tetraedro y el producto vectorial de los dos vectores no es más que el vector normal a esa cara. Por tanto, llegamos a la conclusión de que el área de cualquier cara del tetraedro es, simplemente, el módulo del vector normal a esa cara. En consecuencia, vemos que el área de las caras del tetraedro tiene un espectro discreto. Pero el resultado es general. No depende de tomar un tetraedro u otra forma geométrica concreta. Ni de considerar áreas: el resultado es igualmente válido para volúmenes. El motivo es el legado de Einstein: no existe ninguna noción de tamaño (longitud, área o volumen) que no dependa del propio campo gravitatorio, pues gravitación y geometría van de la mano. Por tanto, el tamaño de cualquier figura geométrica viene dado por el campo gravitatorio en ella. Y dado que en la teoría cuántica el campo gravitatorio se convierte en un operador con un espectro discreto, el tamaño de tal figura también tendrá un espectro discreto. En particular, hay un valor mínimo para el tamaño de cualquier figura geométrica: si seguimos con el ejemplo de los tetraedros, esto significa que existe un tetraedro elemental cuyo tamaño es el mínimo permitido por la teoría. Y no se puede cortar este tetraedro elemental por la mitad. El resultado es que el propio espacio-tiempo adquiere una estructura «granular» formada por porciones individuales con tamaños dados por el campo gravitatorio en cada una de ellas. Este es el primer contacto con los átomos de espacio-tiempo del capítulo anterior. Análogamente al caso del electromagnetismo, donde la radiación electromagnética está compuesta por unidades elementales, los fotones (el fotón es el cuanto del campo electromagnético), en el caso del campo gravitatorio tenemos que la geometría de cualquier región se halla formada por unidades elementales, los gravitones. Y el gravitón es el cuanto del campo gravitatorio.

Las implicaciones del carácter discreto del espacio-tiempo, tal y como lo predice la gravedad cuántica, son dos. La primera es que la teoría no puede ser local. Una teoría de campos es local si es posible medir las magnitudes físicas en regiones arbitrariamente pequeñas del espacio, esto es, regiones de un tamaño tan pequeño como se desee. Hemos visto que la gravedad cuántica establece un límite inferior al tamaño de cualquier región. Por tanto, es una teoría no local.

La segunda consecuencia es la existencia de una cota superior para las interacciones a energías muy altas, esto es, una cota inferior para distancias muy pequeñas. En el modelo estándar de la física de partículas, que describe el resto de las interacciones fundamentales, el valor de una magnitud depende de la escala espacial a la que se mide dicho valor. Esta dependencia se describe mediante una técnica conocida como renormalización. Pues bien, al analizar el valor de una magnitud dada a distancias cada vez más bajas, obtenemos valores infinitos para ciertas magnitudes, como la masa, algo que no tiene ningún sentido físico. Es un síntoma de que algo falla en el proceso de la renormalización. La práctica habitual es asumir una cota inferior para las escalas que se quieren considerar, de modo que se eliminan los infinitos. Pero esto no es muy satisfactorio, pues estamos poniendo a mano tal cota inferior. Lo deseable es que esta cota emerja de la teoría. Este es el caso en la gravedad cuántica de bucles: la existencia de una longitud mínima, la longitud de Planck, implica la existencia de una escala máxima de energías, la energía de Planck. Gracias a esta cota «natural», no metida con calzador, no aparecen infinitos al calcular los valores de las magnitudes físicas.

TETRAEDROS Y MOMENTO ANGULAR

La geometría de un tetraedro viene descrita por los vectores normales a sus caras,

, salvo rotaciones: si giramos el tetraedro en cualquier dirección, tales vectores rotarán también para seguir siendo normales a las caras, pero el módulo será el mismo. Esto no es más que la simetría rotacional del tetraedro: da igualla dirección de los vectores

, el tetraedro es el mismo. Pues bien, existe una magnitud física íntimamente ligada a la simetría rotacional, el momento angular, que se define como el producto vectorial de la posición y el momento lineal, y es una medida de la cantidad de inercia rotacional de un objeto, es decir, de cuánto cuesta frenar un objeto en rotación. La propiedad más importante del momento angular de un sistema es que permanece constante si tal sistema posee simetría rotacional. Ya que ambos están relacionados con la simetría rotacional, el mo mento angular y los vectores

tienen propiedades similares. Gracias a ello, es posible usar la no conmutatividad del momento angular para hallar la correspon diente del vector normal a una cara dada y, de ahí, el valor del área de dicha cara:

donde j es el valor del espín y

donde l_P es la longitud de Planck y γ es el parámetro de Barbero-Immirzi, en honor del físico español Fernando Barbero y el italiano Giorgio Immirzi.

La existencia de una escala mínima otorga a la gravedad cuántica un carácter universal, análogo a lo que sucede con la relatividad especial y la mecánica cuántica. La relatividad especial se puede considerar como el descubrimiento de la existencia de una velocidad máxima: la velocidad de la luz en el vacío. Por su parte, la mecánica cuántica puede verse como el descubrimiento de la existencia de una acción mínima en todas las interacciones físicas: la constante de Planck. Del mismo modo, la gravedad cuántica supone el descubrimiento de una longitud mínima a la escala de Planck, lo que supone un carácter finito y discreto de la n...