Universos paralelos

José Rodríguez-Quintero

• Editorial: RBA Libros
• Año: 2019
• ISBN:
  9788491874164
• Categoría: Ciencias físicas
• Categoría: Física

Este libro da respuesta a una de las hipótesis más sorprendentes de la ciencia actual: la de que nuestro universo es solo uno de entre una infinidad de mundos posibles. Si bien puede parecer una idea propia de la ciencia ficción, del cómic o del cine, vemos aquí que el concepto de «multiverso» tiene apoyo científico. Desde la mecánica cuántica, desde la teoría M, veremos las probabilidades de su existencia.

Muchos mundos
sin probabilidad

Estamos ante el punto determinante del problema que abordó Everett en su tesis doctoral y que estudiaremos, con cierto detalle, en este capítulo. Hemos seguido el recorrido de gestación de las leyes de la mecánica cuántica, esbozando sus implicaciones sobre la percepción de la realidad física del mundo que nos rodea. Esas leyes, y el mundo de probabilidades que rigen, donde el proceso de medida genera el resultado de la misma por la sola acción del azar, son el marco conceptual en el que tiene cabida la idea de un desdoblamiento casi infinito de la realidad en múltiples realidades paralelas.

La regla de Born, descrita en el capítulo anterior, es un elemento esencial para que las leyes cuánticas describan cuantitativamente, y con inusitada precisión, los experimentos que revelan la realidad física subyacente al «ilusorio» mundo macroscópico. A pesar de su éxito predictivo, su encaje dentro del formalismo de la mecánica cuántica exigió un controvertido ejercicio de interpretación que corrió a cargo de un grupo de físicos, reunidos en torno a la figura de Niels Bohr y, de uno u otro modo, ligados al Instituto Nórdico de Física Teórica de Copenhague, fundado en 1920. El resultado de este ejercicio fue la elaboración de un cuerpo axiomático que establecía, a través de una serie de postulados, la estructura matemática y la interpretación física probabilística de la mecánica cuántica. Este cuerpo recibe el nombre, ya citado con anterioridad, de interpretación ortodoxa de Copenhague, y constituye, a día de hoy, el paradigma universalmente aceptado para la mecánica cuántica. En concreto, los postulados III y IV se refieren a la medida de observables físicos, entendiéndose por «observable», de manera general, cualquier propiedad de un sistema físico que puede medirse a través de un experimento. El III incorpora las probabilidades dadas por la regla de Born y el IV o postulado de la medida, el más conflictivo, establece el denominado colapso de la función de onda y la consecuente pérdida de información sobre el sistema. La naturaleza no determinista de la mecánica cuántica, que se deriva del proceso de medida descrito por dichos postulados, provocó el conocido rechazo de Einstein (se le atribuye la famosa cita «Dios no juega a los dados») y focalizó el enfoque alternativo de Everett. La controversia tiene un acento muy formal y matemático, pero también un carácter profundamente filosófico, al discutir la propia estructura de la realidad que percibimos. Merece la pena, por tanto, que nos adentremos con rigor en ella.

EL PROBLEMA DE LA MEDIDA

En el primer capítulo, se han descrito dos formalismos, la mecánica ondulatoria y la mecánica matricial, totalmente equivalentes, aunque el primero representaba el estado cuántico del sistema con una función de la posición y del tiempo, y el segundo representaba magnitudes a partir de transiciones entre los estados cuánticos del mismo. En realidad, ambos formalismos son las que hoy se conocen como representaciones diferentes de un formalismo más general y más abstracto que fue desarrollado por Von Neumann, Dirac y Jordan. En dicho formalismo, los estados son representados por vectores de una estructura matemática abstracta, denominada espacio de Hilbert, y las magnitudes observables por operadores que actúan transformando los estados. Hablaremos un poco de ellos más adelante. Uno y otro mecanismo son el resultado de una diferente elección de lo que en matemáticas se conoce como una base del espacio de Hilbert para los estados. En el caso de Heisenberg, la base elegida corresponde al conjunto de los estados estacionarios que existen para el sistema. En la mecánica ondulatoria, se trata de la base del espacio de posiciones.

FIG. 1

Coordenadas y base cartesiana como analogía de una base para la representación del espacio de Hilbert. El vector $\underset{\mathit{r}}{\mathit{\to }}$ es una superposición de los tres vectores de la base, $\underset{\mathit{i}}{\mathit{\to }}$, $\underset{\mathit{j}}{\mathit{\to }}$, $\underset{\mathit{k}}{\mathit{\to }}$; del mismo modo que un estado cuántico se construye como una superposición de los estados que forman la base elegida.

Veamos un ejemplo. En el espacio tridimensional, tres números definen la localización de un punto. Se denominan coordenadas cartesianas. Ello es así porque cada número nos proporciona la distancia a partir de uno dado, que se toma como referencia y que llamaremos O, a lo largo de tres direcciones perpendiculares (figura 1). Si uno asocia a cada una de las tres direcciones un vector cuyo tamaño, técnicamente módulo, es igual a la unidad en un determinado sistema de unidades, el resultado es una base. El punto a localizar se hallará en el extremo de un vector $\underset{\mathit{r}}{\mathit{\to }}$ = x $\underset{\mathit{i}}{\mathit{\to }}$ + y $\underset{\mathit{j}}{\mathit{\to }}$ + z $\underset{\mathit{k}}{\mathit{\to }}$, apoyado en el punto O, donde x, y, z son las coordenadas, e $\underset{\mathit{i}}{\mathit{\to }}$, $\underset{\mathit{j}}{\mathit{\to }}$, $\underset{\mathit{k}}{\mathit{\to }}$ son los vectores que forman la base. El vector $\underset{\mathit{r}}{\mathit{\to }}$ es una combinación lineal o superposición de los vectores $\underset{\mathit{i}}{\mathit{\to }}$, $\underset{\mathit{j}}{\mathit{\to }}$ y $\underset{\mathit{k}}{\mathit{\to }}$. El espacio de Hilbert es una estructura matemática más compleja que el espacio tridimensional (que un matemático denominaría espacio vectorial de dimensión tres). De entrada, el espacio de Hilbert tiene dimensión infinita y ello significa que su base está compuesta por un número infinito de vectores. Sin embargo, el concepto es el mismo. La base en el caso de la mecánica ondulatoria está compuesta por un número infinito de vectores, cada uno de los cuales representa un punto del espacio. Las «coordenadas» corresponden a los valores que la función de onda toma en cada punto. El estado cuántico de una partícula caracterizado por una función de onda λ es, en realidad, una superposición de infinitos estados, cada uno de los cuales localiza la partícula en un punto distinto del espacio tridimensional. El peso de cada uno de esos estados en la superposición final viene dado por la función λ evaluada en cada punto. Y la probabilidad por su cuadrado. La suma de esas probabilidades (integración extendida a todo el espacio, en este caso, por las características de la base) es igual a la unidad.

Regresemos ahora al caso del electrón en el átomo de hidrógeno. Cualesquiera de los estados estacionarios que Bohr y Sommerfeld habían identificado, soluciones de la ecuación de Schrödinger, son superposiciones de los infinitos estados posibles en los que el electrón se halla en cualquier punto del espacio, a cualquier distancia del núcleo. Cada uno de estos estados, en los que el electrón está localizado, es un estado cuántico no estacionario. Por tanto, al no conservar la energía constante a lo largo del tiempo, no son soluciones físicas para el problema del átomo de hidrógeno aislado y estable. Una solución física para el átomo de hidrógeno, con una energía dada bien definida, exige que el electrón esté deslocalizado y pueda, con alguna probabilidad cuantificable, ser detectado en cualquier punto del espacio. Dicha probabilidad, como dicta la regla de Born, viene dada por el cuadrado de la función de onda, solución estacionaria de la ecuación de Schrödinger. La manera en que esta probabilidad de presencia se distribuye espacialmente depende de qué solución estacionaria particular represente al estado cuántico del electrón, es decir, de sus números cuánticos. En la figura 2 del recuadro de la pág. 25, por ejemplo, pueden observarse las distribuciones espaciales de probabilidad para los estados con n = 1, n = 2 y n = 3.

LA FUNCIÓN DE ONDA COMPLEJA

En general, los valores que toma la función de onda son números que los matemáticos llaman complejos. En la teoría de números, los reales son todos aquellos que se representan de manera compacta como puntos en una recta (pueden situarse en una regla métrica y pueden, por tanto, asociarse a una distancia física); los complejos incorporan además la adición de un término proporcional a una entidad matemática denominada unidad imaginaria, y, definida como $i=\sqrt{-1}$. Un número complejo, z, tiene, por tanto, una componente real, x, y otra imaginaria, y, es decir,

$z=x+iy.$

Cada una de las componentes es un número real. Los números complejos constituyen un espacio matemático abstracto y se representan como puntos en un plano.

Mecánica cuántica y números complejos

La estructura matemática de la mecánica cuántica, para que esta pueda predecir la realidad física, exige que la función de onda opere matemáticamente en el plano de los números complejos. En ese plano, el cuadrado de la función de onda se refiere al módulo de dicha función, que es la suma de los cuadrados de sus dos componentes, la real y la imaginaria. Es decir, en la figura, el módulo del número complejo equivale al módulo del vector que lo sitúa en el plano y es, por tanto, un número real. La función de onda que representa a un sistema físico tiene pues una estructura complicada, con una componente real y otra imaginaria, y su evolución temporal dictada por la ecuación de Schrödinger tiene también lugar en el plano complejo, variando una y otra componente de manera totalmente independiente. Sin embargo, la probabilidad, dictada por la regla de Born, está expresada por el módulo de la función de onda, que es un número real. De hecho, cualquier observable físico, extraído de la función de onda a través del proceso de medida, será un número real. Es llamativo lo bien que complicadas abstracciones matemáticas se ajustan a la descripción de la naturaleza. ¿Tiene la realidad física una estructura intrínsecamente matemática, o las matemáticas son una mera herramienta para aproximar la realidad? La respuesta es vital para la hipótesis de Everett, pues esta deriva de subordinar la interpretación física de la realidad a la estructura matemática de la teoría.

Por otra parte, cualquier estado cuántico puede, a su vez, expresarse como una superposición del conjunto infinito, pero discreto, de estados estacionarios deslocalizados. Esas superposiciones, resultado de emplear la base de estados estacionarios, conducen a las matrices cuadradas de orden infinito de Heisenberg, Born y Jordan.

En el formalismo matemático de la mecánica cuántica, los vectores representan estados cuánticos, pero ¿cómo se derivan los resultados de una medida a partir de estos vectores? La respuesta es: por medio de operadores asociados a cada magnitud observable. Un operador es un ente matemático que actúa sobre los vectores y los transforma de algún modo. Cada posible observable físico queda definido por un operador. Sin embargo, como veremos más adelante, el proceso de medida implica algo más que la acción del operador. Cuando un operador actúa sobre un vector o estado y el resultado es el mismo vector multiplicado por un número o coeficiente, se dice que el vector es un autovector del operador y el coeficiente un autovalor. Cuando el operador representa a un observable físico, el conjunto de todos sus posibles autovalores corresponde al conjunto de todos los posibles resultados de la medida de ese observable. Centrémonos en el ejemplo de la energía como observable. El operador para la energía se representa con la letra H y se le conoce con el nombre de hamiltoniano. Los autovectores del hamiltoniano son los estados estacionarios del sistema y sus autovalores los niveles cuánticos de energía. La acción del hamiltoniano sobre un vector ϕ_E que representa un estado estacionario de energía E devolverá el mismo vector multiplicado por su energía,

$H{\varphi }_E=E{\varphi }_E$

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger corresponden a los autovectores del hamiltoniano y, de hecho, aquella puede escribirse en términos de este y ser formalmente resuelta a fin de obtener el denominado operador de evolución temporal. Este operador se construye, por tanto, a partir del hamiltoniano y contiene toda la dinámica del sistema. Actuando sobre un estado cuántico de un sistema para un tiempo inicial dado, el operador de evolución lo transformará en el estado del sistema evolucionado hasta cualquier tiempo final deseado. Una propiedad esencial del operador de evolución es que, al actuar sobre cualquier estado, la transformación no modifica la norma y, por tanto, conserva la probabilidad. Técnicamente, se dice que es unitario.

La evolución en mecánica cuántica es, en consecuencia, unitaria. Si el sistema se encuentra inicialmente en una superposición de estados, la evolución temporal dictada por la ecuación de Schrödinger mantiene dicha superposición. Aunque los pesos y probabilidades relativas para cada estado pueden resultar alterados por el operador de evolución, la suma de las probabilidades para todos los estados, la norma, permanecerá constante. En ese sentido, aunque la información cuántica, contenida en la función de onda que define el estado del sistema, es probabilística, la evolución cuántica es determinista. Conocida la función de onda en un instante de tiempo, las leyes cuánticas la predicen en cualquier otro.

LA INTERPRETACIÓN ORTODOXA DE COPENHAGUE

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