Sócrates en Viena: una biografía intelectual de Kurt Gödel

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• Editorial: Montesinos
• Año: 2007
• ISBN del libro electrónico: 9788496831339

E N S AYO

© Enrique Alonso, 2007

Edición propiedad de Ediciones de Intervención Cultural Diseño: M. R. Cabot

Revisión técnica: Isabel López Arango

ISBN: 978-84-96831-33-9

Depósito legal: B-28.719-07

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CONSEJOS ÚTILES PARA ABORDAR

LA OBRA DE UN GENIO DE NUESTRO TIEMPO

Kurt Gödel (1906-1978) dedicó su trabajo y una parte considerable de su vida al desarrollo de la ciencia de la lógica o de lo que podríamos llamar también fundamentos de matemáticas. Esta es seguramente la única razón por la que nunca obtuvo un premio Nobel —la lógica no fi gura entre sus áreas de interés— y por la que nunca llegó a disfrutar de la fama que le hubiera correspondido caso de haberse dedicado a ciencias digamos más populares. Es cierto que existe, quizá por esto mis mo, una considerable mística en torno a sus principales resultados.

Mostrar conocimiento de la figura de Gödel, no digamos ya de los teo -

re mas por los que es famoso, puede aportar, según las circunstancias, un fino toque de distinción a los contertulios más intrépidos. Aunque son muchos menos, como es normal, los que pueden valorar la importancia de su trabajo para nuestra tradición cultural y para su actual cons titución e ideario. Quizá sea esta la razón principal de que al pro -

po nerme este trabajo el simil con la figura de Sócrates haya surgido de forma tan natural. Ambos son un referente que se oculta tras la obra de aquellos sobre los que influyeron de forma decisiva. Ambos deben ser citados y estudiados si se quiere entender la trama íntima de una época.

Los dos están, en definitiva, arropados o sepultados, como se quiera ver, por el mito creado en torno a su vida y su pensamiento. Y quizá ahí acaba el simil, ya que las capacidades dialécticas y sociales de uno y otro nada tienen que ver.

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En estas páginas vamos a enfrentarnos con la obra y también en par -

te con la vida de un genio de nuestro tiempo. Dadas las dificultades pre -

sen tes para gozar de una existencia plena sin haber batido ningún re cord, haber obtenido un premio o figurar en alguna de las innumerables listas del mérito que tanto abundan, me parece prudente advertir al lector de los riesgos existentes al enfrentarse a la figura de Gödel. Se trata, sin duda, de un personaje cuya luz ha brillado muy por encima de la media de su momento, no digamos ya del nuestro. Pero también es cierto que su época fue propicia a que mentes bien dotadas animadas por una gran curiosidad pudieran mostrar toda su fuerza creativa imponiendo sus puntos de vista en los foros científicos y académicos.

Digo esto porque la obra de Gödel, al menos la de mayor impacto, es, co mo la de Einstein, extraordinariamente precoz. Sus mayores aportaciones estaban ya publicadas a la edad de 25 años. Pero no es un caso ex -

traordinario. El periodo de entreguerras, el primer tercio del siglo XX en general, fue propicio a este tipo de precocidad intelectual. ¿Significa esto que nuestra época ha experimentado un claro deterioro de las facultades intelectuales de sus ciudadanos? Obviamente no.

Abordar la lectura de figuras tan sobresalientes suele provocar en los lectores —me incluyo con todo el derecho— reacciones que van desde los intentos de emulación a la frustración más absoluta. Es típico, por ejemplo, buscar en cada pequeño detalle biográfico alguna similitud con nuestra propia experiencia. Manías, hábitos y costumbres, temperamentos, to -

do vale. Se trata de ponernos en alguna medida en la senda del genio. No des de luego a su altura, pero sí en una suerte de complicidad capaz de ani -

mar nos en nuestra lucha interna por la excelencia. Quienes se frustran, y no son pocos, suelen fijarse ante todo en las diferencias. Es un clásico en tre la comunidad matemática el síndrome de los 25. Alcanzar esa edad sin ha ber realizado una aportación de mérito supone aceptar el fin de tu carrera, al menos de aquel tipo de carrera a la que se reservan todos los honores.

Lo que pretendo con estas consideraciones es proponer al lector el abandono de todos estos prejuicios para enfrentarse a este trabajo en 10

una mejor disposición de ánimo. No hace falta un gran dominio de la historia de las ideas para apreciar con total claridad que no existe un método que guíe de forma infalible al éxito intelectual. Ni las épocas son comparables ni lo son las biografías de las personas. No renunciar a los prejuicios que afectan nuestra interpretación de las grandes figuras del pensamiento puede suponer malograr momentos de gran valor in telectual o estético. Propongo que disfrutemos de la obra de Gödel con la tranquilidad que proporciona el sentir que nuestra tarea es otra.

Aun que para ello nos venga muy bien, eso sí, entender cuál fue la labor de Gödel y de sus contemporáneos.

Los capítulos en que se divide este trabajo se ajustan en general al aná lisis de lo que son sus principales logros pero siguen también un cier to orden cronológico. El primer apartado nos va a llevar al contexto intelectual de una de las épocas más intensas de la historia reciente de las ideas. Veremos lo que se discute en la Viena de entreguerras remontándonos a los episodios finales del siglo XIX, es decir, a la propia refundación de la lógica contemporánea. Aprovecharemos para si -

tuar los primeros años de formación de Gödel y se ofrecerán algunos de talles biográficos de interés: sus primeros estudios, sus habilidades, su vida universitaria y sus relaciones con los demás y con el amor. El se gun do y tercer capítulos se dedican a sus dos aportaciones más re nom -

bradas: la completitud de la lógica elemental, y la existencia de pro po -

siciones indecidibles de la aritmética. Se trata de su trabajo más ca rac te -

rístico antes de abandonar definitivamente la residencia en Vie na por el exilio dorado de Princeton durante los primeros compases de la II Guerra Mundial. No insisto en ello porque, como cabe ima gi nar, constituye el grueso de esta obra. En ambos casos hay una cierta complejidad que es imposible obviar. Por ello he optado por in tercalar detalles técnicos de interés para los más intrépidos con otros que permiten seguir la lectura sin perder el hilo aún cuando se ignoren las partes más complejas. Todos nos saltamos párrafos cuando creemos que no van a aportar nada a lo que buscamos en una obra. He pensado en ello y creo 11

que un uso prudente de esta práctica es mejor que abandonar sin seguir adelante. Los detalles biográficos y las consideraciones filosóficas están intercaladas en todo el texto de forma más o menos regular. Perdérselos por culpa de un párrafo algo más formal sería una pena. El cuarto capítulo analizará la relación de Gödel con algunos de los protagonistas del nacimiento de la Teoría de la Com putación así como sus puntos de vis -

ta al respecto. Este episodio conecta biográficamente con su exilo vo -

luntario a los Estados Unidos y con el inicio de las relaciones personales que mantendría hasta su muerte. El quinto apartado estará dedicado a su interés por la teoría de conjuntos. Aunque lo cierto es que su tratamiento de uno de los problemas principales en ese ámbito, la de -

nominada hipótesis del continuo, pertenece propiamente a la etapa vie-nesa, el tiempo dedicado posteriormente a refinar su resultado y la im -

portancia que estos esfuerzos tuvieron para su concepción de la lógica y la filosofía ha aconsejado situarlo en el periodo americano. A finales de la década de 1940 Gödel aborda lo que siempre consideró una digresión, me refiero a las so lu cio nes no estándar de las ecuaciones de campo. Sus incursiones en la teoría de la relatividad empiezan y terminan en ese punto, pero es re curren te referirse a ellas. Respetaremos su propia visión del asunto aparcando un tratamiento más detallado de ese aspecto de su obra. El último apartado tenía que estar dedicado a lo que podríamos llamar las reflexiones de Gödel como filósofo natural.

Es muy poco lo que llegó a escribir sobre filosofía, y lo que realmente comunicó no parece informar de la importancia y alcance de sus opiniones. Mucho de lo que sabemos lo sabemos gracias a las referencias de Hao Wang, discípulo y cronista, quien aporta numerosas ci tas en varias obras que serán de uso común en este trabajo.

El tono de esta obra no es formal. Para comprobarlo lo mejor es que el lector eche ahora una ojeada —si no lo ha hecho ya— y compruebe la escasa presencia de fórmulas o de notación matemática. Alguna habrá, es inevitable en un trabajo de este tipo, pero se usará sólo cuando ello tenga un valor histórico o instrumental que lo justifique. No 12

obs tante, creo que es justo advertir al lector de la complejidad inheren -

te de los temas que aquí se abordan. Por desgracia no hay una forma fácil de exponer las conclusiones obtenidas por Gödel. Un tratamiento superficial resulta insulso, pero el detalle se hace a menudo insoportable. Lo único que puedo decir es que lo he hecho lo mejor que he podido y sabido.

Gödel fue una persona obsesionada por el rigor pero con una manifiesta voluntad filosófica. Pensó y así lo creemos muchos, que los resultados de la moderna lógica matemática podían llegar a ofrecer mensa-jes de valor para un cierto modo de entender la filosofía. Una buena for ma de rendir homenaje a su figura es retomando ese proyecto desde nuestro propio punto de vista teniendo en cuenta las exigencias del momento que nos ha tocado vivir: los prejuicios de nuestro tiempo, se -

rían sus palabras. No quiero decir que no se hayan hecho interpretaciones generales de sus resultados. Las hay y muchas. Sin embargo, no siempre se han atendido con el rigor necesario o con la sensibilidad filosófica precisa. Esta obra intentará, siguiendo el ejemplo de otras de ma yor mérito, cumplir el difícil equilibrio existente entre rigor formal y sensibilidad filosófica. Creo que hay todavía un largo camino que re -

correr en esa dirección que apunta hacia lo que ya muchos empiezan a reconocer como una suerte de filosofía natural de nuevo cuño.

Quizá se entienda ahora que no pueda recomendar esta obra a nadie en concreto ni advertir sobre la conveniencia de cualesquiera conocimientos previos. Saber es mejor que ignorar, pero ello no arroja en este caso ningún consejo previo. Supondré que aquellos que se enfrentan a esta lectura lo hacen de motu proprio y en el deseo sincero de aprove-char para sus legítimos intereses lo que en sus páginas se pueda encontrar. Supondré, en fin, que todos somos sujetos racionales dotados del sano deseo de aprender cosas nuevas y de resolver otras, ya sean nuevas o viejas. Hacerlas entender debidamente es mi problema.

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SUEÑOS IMPOSIBLES.

LA VIENA DE ENTREGUERRAS

La obra de Gödel, al menos la más conocida, parece estar inevita-blemente asociada a una cierta decepción. Los objetivos que un amplio colectivo de lógicos, matemáticos y filósofos se fijaron a lo largo de los primeros años del siglo XX resultan frustrados gracias al puñado de páginas en que Gödel consigue mostrar la imposibilidad de satisfacer-los adecuadamente. Resulta irónico que aquel a quien veneramos hoy como una de las figuras indiscutibles de la lógica de todos los tiempos, a la altura de Aristóteles o Leibniz, alcanzara este reconocimiento por mostrar la imposibilidad de alcanzar unas determinadas metas y no más bien por resolver favorablemente algunas de las muchas preguntas que la comunidad matemática tenía planteadas en aquellos momentos.

Pero quizá sea bueno que lo tomemos como una sutil metáfora del cambio que el siglo XX fue produciendo en las expectativas acerca de aquello que nos es dado conocer de forma clara y distinta. Pase lo que pase en el futuro no creo que podamos recuperar ya la ingenuidad que este y otros episodios nos hicieron perder.

Para comprender el sueño de la razón con cuyo fin se relaciona a Gö -

del tenemos que empezar nuestro relato en torno al último cuarto del siglo XIX. Durante esta época se empieza a configurar un ambicioso programa de investigación cuyo fin último es refundar la matemá tica de la época sobre unas bases absolutamente ciertas. Se trata, por tan to, 15

de un proyecto que no sólo afecta al objeto de estudio, sino también al modo de acercarse a él. Y será en este punto, más que en el del propio contenido matemático de las teorías, en el que se van a centrar los problemas y las discusiones que se prolongan hasta bien entrada la década de 1930. Pero, ¿por qué esa obsesión por los fundamentos? Una interpretación muy extendida relaciona esta tendencia con la aparición de una serie de paradojas que habrían afectado a algunos de los conceptos más básicos del edificio de la matemática de la época. Y es verdad que resulta razonable verlo así. Ante un desafío de esa magnitud lo que corresponde es una profunda revisión de los fundamentos y una re -

construcción cuidadosa a partir de un aparato conceptual convenien-temente depurado de toda ambigüedad. Pero lo cierto es que los da tos son tercos y no coinciden plenamente con esta explicación, por plausible que parezca. Las paradojas que afectaron a las teorías matemáticas de finales del siglo XIX y principios del XX no fueron siempre la causa de la revisión de fundamentos que tuvo lugar entonces sino, en muchos casos, su consecuencia1. La paradoja de Russell, relativa al concepto de clase, o la de Richard, que afecta al acto de definir un ob je to bajo determinadas condiciones —de todo esto hablaremos mas ade -

lante— datan de los primeros años del siglo XX, algún tiempo después de que el programa de refundación hubiera echado a andar.

Parece claro que hay que buscar otro tipo de razones que expliquen esa manifiesta obsesión por los fundamentos de teorías que hasta en -

tonces habían funcionado dentro de lo que cabía esperar de ellas. Qui -

zá sea bueno tomar algo de perspectiva. Durante la segunda mitad del 1. E. W. Beth en Las paradojas de la lógica atribuye la emergencia de paradojas en una disciplina precisamente a los procesos de revisión de fundamentos. Las paradojas y otras dificultades similares aparecerían en etapas tempranas de dichos procesos

“...bien por el hecho de que el nuevo aparato conceptual no está, todavía, completamente constituido de una forma satisfactoria, o bien por el uso de una terminología tomada del anterior...”

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siglo XIX vieron la luz las obras de las que surgen teorías tan importantes como el marxismo, el evolucionismo y finalmente, ya casi en el propio siglo XX, el psicoanálisis. Son teorías que poco tienen en co mún salvo la vocación de explicar grandes ámbitos de la realidad a partir de un número muy reducido de principios. ¿Por qué no aceptar la existencia de un cierto tono general propicio al alumbramiento de gran des iniciativas teóricas de este tipo? Entender el programa de re fundación del conocimiento matemático bajo esta perspectiva general puede ayudar a comprender mejor algunos de los acontecimientos de la época.

Si vamos a las causas concretas encontramos un cóctel de razones que actúan de forma combinada y no una única causa principal. En primer lugar, creo que es justo hablar de la importancia que en esa épo -

ca ha adquirido la transmisión de conocimiento a través de los sistemas educativos reglados. La extensión de la formación superior desde uni-versidades y escuelas técnicas crea un nuevo género: el libro de texto es -

pecializado. El reto planteado consiste en ofrecer a un gran número de personas acceso a teorías dotadas ya de una considerable sofisticación.

Organizar los contenidos de una materia compleja de tal modo que aparente solidez lleva de forma casi inevitable a plantearse problemas reales en torno a su fundamentación. Dedekind, activo precisamente durante el último cuarto del siglo XIX, y responsable de buena parte de la refundación de la aritmética tradicional, confiesa que esa fue la razón que le llevó a experimentar de forma clara la necesidad de revisar a fondo los conceptos y procedimientos básicos empleados hasta entonces en el cálculo.

La segunda r...

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