Manual de álgebra lineal 2da edición

Sebastian Castañeda Hernández, Agustín Barrios Sarmiento, Ismael Gutiérrez García

• Editorial: Universidad del Norte
• Año: 2020
• ISBN:
  9789587893069
• Edición: 2
• Categoría: Matemáticas
• Categoría: Álgebra lineal

Este manual contiene información básica para unprimer curso de Álgebra lineal dirigido aestudiantes de primer semestre de ingenierías, economía, administración de empresas o programasen los que esta asignatura sea electiva. Está basadoen el texto Introducción al Álgebra lineal, publicadopor el sello Editorial Universidad del Norte, y supropósito es que se constituya en una herramientade apoyo imprescindible para los estudiantes, y paraello se incluyen ejemplos, ejercicios y tareas.

CAPÍTULO 1

Preliminares

1.1 Introducción

El Álgebra, hablando en términos rudimentarios pero modernos, es la disciplina matemática dedicada al estudio de las denominadas estructuras algebraicas. Una estructura así está formada básicamente por un conjunto no vacío y una o más operaciones definidas sobre ese conjunto. El Álgebra Lineal, tambíen en términos generales, tiene como objeto de estudio principal cierto tipo de estructura conocida como espacio lineal o espacio vectorial. En esta primera sección presentamos las definiciones de operación (especialmente las denominadas binarias) y de las estructuras algebraicas básicas: semigrupos, monoides, grupos, anillos y campos. En el capítulo dos, en particular, se hace una primera presentación de la estructura de espacio vectorial en un ejemplo específico. Tal definición se hará desde la perspectiva matemática o algebraica y en un capítulo posterior se relacionará con la noción física o geométrica de vector con la cual seguramente los lectores, aún los principiantes, tendrán alguna familiaridad. Iniciamos justamente con el concepto de estructura algebraica.

1.2 El concepto de estructura algebraica

Existe cierta familiaridad con la noción de operación, específicamente con la de operación binaria. Así, por ejemplo, la adición, la multiplicación y sus operaciones “inversas” (sustracción y división) en conjuntos numéricos constituyen ejemplos de operaciones binarias. Para ir abriendo paso a una generalización¹ de tales operaciones “familiares”, consideremos inicialmente la adición de números enteros.

En la adición de enteros, partimos tomando dos números enteros, por ejemplo 3 y 4, y al hacer la operación obtenemos el entero 7 = 3 + 4, denominado la suma de 3 y 4. Más generalmente, si tomamos dos enteros, notados x e y, la adición produce un entero z = x + y. Técnicamente hablando, hemos tomado un par (x, y) de enteros y le hemos asignado un entero x + y, la suma de las componentes del par (x, y). En el lenguaje de la teoría de conjuntos lo que se tiene es una función

cuyo dominio es el producto cartesiano del conjunto de los enteros,

, consigo mismo y las imágenes –o resultados de la acción de la función– pertenecen al mismo conjunto

. Un análisis similar puede hacerse para la multiplicación de enteros, la cual es una función

Estos son dos ejemplos particulares de lo que denominaremos una ley de composición interna definida sobre un conjunto. El hecho de que los elementos operados (sumados o multiplicados) se consideren formando pares ordenados parecería no ser importante en estos ejemplos ya que el resultado obtenido –la suma o el producto, respectivamente– es el mismo independientemente de si el par considerado es (x, y) o (y, x). Esto es debido, en este caso, a que las dos operaciones consideradas gozan de la denominada propiedad conmutativa según la cual “el orden de los sumandos (o factores) no altera la suma (el producto)”. Sin embargo, basta con pensar en la sustracción de enteros para convencerse de que si queremos generalizar nuestras particulares observaciones a conjuntos (y operaciones) arbitrarios el “orden” de las componentes es importante. Así, la sustracción en el conjunto de los enteros es una función

Como tal, es una ley de composición interna pero, por ejemplo, la imagen de la pareja (2, 3), esto es 2 − 3 = −1, no es la misma que la de (3, 2), la cual es 3 − 2 = 1. Esto, por supuesto, significará que la sustracción no es una operación conmutativa.

Algunas pr...