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Capítulo 1
(H) Haces. Fenomenología del pensamiento matemático
En este capítulo, luego de presentar la matemática como pensamiento, es decir, como un ir y venir que fragua y recorre una escala de niveles (recordando el origen etimológico pensar = pesar), introducimos los haces (H) como el primer instrumentario preciso con el cual construiremos nuestros modelos en haces para el pensamiento matemático. El pesar dentro del pensar matemático corresponde básicamente a una adjunción entre la técnica matemática y la conceptualidad matemática. El énfasis en el adjetivo “matemático”, allende lo meramente “lógico”, es aquí crucial, insistiendo en la multiplicatividad de la matemática, irreducible a la lógica más la teoría de conjuntos. En sentidos que acotaremos en lo que sigue, el retículo de definiciones, teoremas, ejemplos, que constituye la razón de la disciplina, se inyecta en otro retículo de ideas, intuiciones, errores, dentro de una co-razón que lo recubre. Desde lo alto, las ideas se proyectan luego en lo bajo, dando lugar a la emergencia de un haz, particularmente sensible al trasiego de los fenómenos matemáticos entre lo posible, lo necesario y lo actual.
1.1 La matemática como pensamiento: técnica y conceptualidad
Sin duda, la fuerza central de la matemática radica en la perfección de su técnica, en el asombroso rigor de su razonamiento, en la limpieza de su teoremática arquitectónica. Tan sólida es la irradiación de la de-mostración y de su alto canon de exposición, que los matemáticos mismos tienden a ocultar todo aquello que no sea claro y contundente en su práctica. Gracias a una edificación suntuosa de definiciones, ejemplos, lemas y teoremas, la matemática crece a lo largo de los siglos y mantiene su saber, acotándolo adecuadamente en sucesivos contextos de axiomatización y de interpretación. No obstante, la atinada frase de André Weil, “canónico” fundador del rigor á la Bourbaki, nos recuerda el ámbito de mostración, más vago y penumbroso, desde donde emerge la creatividad: “Nada es más fecundo, lo saben todos los matemáticos, que esas obscuras analogías, esos reflejos turbios de una teoría en otra, esas caricias furtivas, esas inexplicables contrariedades” (De la metafísica a las matemáticas, 1960)106. Siguiendo un back-and-forth complejo entre obscuridad y claridad, entre manantiales y sumideros, entre el volcán y el mar107, la matemática se gesta, desarrolla y estabiliza.
En el espacio de la imaginación o de la co-razón las ideas se ligan estrechamente con representaciones visuales conceptuales108, vuelan por encima de la técnica y la orientan109. De hecho, sin el direccionamiento de ideas sencillas y generales, la técnica se perdería constantemente en medio de sus detalles particulares. En esto reside el genuino interés de la abstracción y de lo universal: desde lo alto, una vez se han depurado las obstrucciones concretas y se han superado las acotaciones técnicas (definiciones y teoremas), se consigue un tránsito (conceptos e ideas) que las inmersiones en lo particular impiden. Un proceso abstractivo bien pe(n)sado nunca es gratuito y no se generaliza por generalizar, sino, al contrario, se asciende para poder mejor descender. Como en una caminata en montaña o en una escalada física110, al llegar a una cima es cuando se aprecia un vasto panorama, imposible de captar desde la selva o desde un plano dado.
La matemática procede entonces según un permanente discurrir dinámico entre lo concreto y lo abstracto, entre lo calculatorio y lo conceptual, entre la variación y la invarianza. Los objetos de la matemática (“qué”) ya no están fijos, sino que se modulan a través de sofisticados teoremas de representación, a lo largo de una evolución compleja111. De manera similar, el conocimiento de esos objetos (“cómo”) no procede solo de relámpagos luminosos, sino también, muy a menudo, de estrategias penumbrosas –relativas, parciales, jerarquizadas, distribuidas–112 que permiten captar la fundamental iteración del entendimiento: conocer el conocer. Múltiples niveles entran así en juego en una estructura laminada y ramificada, cuyas circulaciones debe estudiar la filosofía (de la) matemática113. Como en una superficie de Riemann, el entendimiento se obtiene gracias a una doble instanciación de la inteligencia: por un lado, el recorrido abstracto de los conceptos; por otro lado, su encarnación concreta en las manifestaciones de la técnica.
En el revés de las hojas se inscriben visiones modernas y contemporáneas que rompen con los prejuicios usuales sobre la matemática. De hecho, en el último siglo y medio, la disciplina ha pasado a completarse dialécticamente con contrapartes que abren su espectro: lo relativo en vez de lo absoluto, lo variable en vez de lo eterno, lo dinámico en vez de lo estático, lo correcto en vez de lo verdadero, lo abductivo en vez de lo deductivo, lo flotante en vez de lo fundamentado, lo negativo en vez de lo positivo. En esta última dualidad, múltiples circulaciones alrededor de lo negativo ofrecen aperturas brillantes: no euclidianeidad (Riemann), no clasicismo (Brouwer), no asociatividad (Lie), no separabilidad (Grothendieck), no elementalidad (Shelah), no linealidad (Girard), no conmutatividad (Connes), etc. Una red de de-formaciones transversales permite entender las fluxiones y las limitantes del saber matemático. La negación se sitúa así del lado de una co-razón flexible, de un anverso geométrico, que nos guía entre luces y sombras114.
Al pe(n)sar un concepto y su dual, una noción y su co-noción115, el pensador de la matemática explora una multiplicatividad natural. En este ámbito, como dualización, alternación, complementación o co-noción de la filosofía analítica, basada a lo largo del siglo XX en la teoría de conjuntos y la lógica clásica de primer orden, hemos propuesto para el siglo XXI una filosofía sintética, basada en la teoría de categorías y la lógica de los haces. Pasando del prefijo analítico básico IN, insistimos en el prefijo TRANS y enfatizamos algunos contrapuntos: composición/extralimitación en vez de descomposición/limitación, representación en vez de recubrimiento, negatividad en vez de positividad, deformación/cuantización en vez de formación/purificación, nube de Gromov en vez de árbol de Hilbert, liberación visual en vez de control lingüístico116. El ejercicio sitúa a la matemática como pensamiento armónico: expresión de contrarios, distribución de pesos, correlación de opuestos, equilibrio de oscilaciones, adjunción de vaivenes, convergencia de asíntotas, dentro de un alternar incesante de variaciones e invarianzas, despliegues y pliegues, ascensos y descensos. En lo que sigue, empezaremos a cifrar esos movimientos necesarios del conocimiento gracias a la no...
