Linear Operators for Quantum Mechanics
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Linear Operators for Quantum Mechanics

Thomas F. Jordan

  1. 160 pagine
  2. English
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Linear Operators for Quantum Mechanics

Thomas F. Jordan

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This compact treatment highlights the logic and simplicity of the mathematical structure of quantum mechanics. Suitable for advanced undergraduates and graduate students, it treats the language of quantum mechanics as expressed in the mathematics of linear operators.
Originally oriented toward atomic physics, quantum mechanics became a basic language for solid-state, nuclear, and particle physics. Its grammar consists of the mathematics of linear operators, and with this text, students will find it easier to understand and use the language of physics. Topics include linear spaces and linear functionals; linear operators; diagonalizing operators; operator algebras; states; equations of motion; and representation of space-time transformations. The text concludes with exercises and applications.

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Informazioni

Anno
2012
ISBN
9780486140544
Categoria
Physics
3
DIAGONALIZING OPERATORS
To use linear operators in quantum mechanics we should know how to diagonalize them. We will see that putting operators in diagonal form makes working with them almost as easy as working with numbers. Some things work out better for complex vector spaces than for real vector spaces. From now on we consider operators defined on a complex separable Hilbert space.
12.EIGENVALUES AND EIGENVECTORS
Let B be a linear operator. If ψ is a nonzero vector and b is a scalar such that = bψ), then we say that ψ is an eigenvector of B and b is an eigenvalue of B. What is required for a number to be an eigenvalue of a linear operator?
Theorem 12.1. If b is an eigenvalue of a linear operator B, then the operator Bb has no inverse.
Proof. If Bb has an inverse, then there is no nonzero vector ф such that (B – b)ф = 0.1
For a finite-dimensional space this is all that is required.
Theorem 12.2. If B is a linear operator on a finite-dimensional space, then each of the following is a necessary and sufficient condition for a scalar b to be an eigenvalue of B.
(i)The operator Bb has no inverse.
(ii)The determinant of the matrix corresponding to Bb is zero.
Proof. The operator Bb has an inverse if and only if there is no nonzero vector ф such that (B – b)ф = 0 (Theorem 7.2). Also Bb has an inverse if and only if the determinant of the matrix corresponding to Bb is not zero (Theorem 7.2).
Condition (ii) gives us a way to calculate eigenvalues. If the space is n-dimensional, we get an n x n matrix for B – b. Setting the determinant of this matrix equal to zero gives us an nth-order ...

Indice dei contenuti

  1. Cover
  2. Title Page
  3. Copyright Page
  4. Preface
  5. Acknowledgments
  6. Contents
  7. I. Linear Spaces and Linear Functionals
  8. II. Linear Operators
  9. III. Diagonalizing Operators
  10. IV. Operator Algebras
  11. V. States
  12. VI. Equations of Motion
  13. VII. Representation of Space-Time Transformations
  14. Exercises and Applications
  15. Bibliography
  16. Index