Statistik verstehen, nicht rechnen

Band 1: Beschreibende Statistik

Frank Siegmann

• Publisher: Kohlhammer Verlag
• Year: 2016
• eBook ISBN: 9783170310155
• Edition: 1
• Topic: Economics
• Subtopic: Statistics for Business & Economics
• Index: Economics

Der Deutsche trinkt im Jahr durchschnittlich 5 Liter Hochprozentiges. Jeder? Auch Kinder und Bewohner eines Altenheimes? Sind Kokosnüsse gefährlicher als Haie? 28% der Führungskräfte gaben an, dass ihnen das Aussehen ihrer Angestellten wichtig ist. Sterben die Bienen demnächst aus? Solche Aussagen richtig einzuordnen, fällt vielen schwer, obwohl solide und anwendungsbezogene Grundkenntnisse der Statistik in Alltag und Beruf unerlässlich sind. Der Autor ist ein erfahrener Dozent und erklärt im vorliegenden Sachbuch ebenso unterhaltsam wie verständlich die Grundlagen der beschreibenden (deskriptiven) Statistik, die er anhand zahlreicher Beispiele praxisnah aufbereitet. Dabei verzichtet er auf die Herleitung umfangreicher Formeln und Methoden, die nötigen Berechnungen können und sollen ohne Taschenrechner nachvollzogen werden. Er vergisst auch nicht, den Leser auf typische Anwendungsfehler hinzuweisen.

1 Nur eine Größe interessiert uns – eindimensionale Verteilungen

Immer wenn wir uns nur für ein Untersuchungsmerkmal interessieren, sprechen wir von eindimensionalen Verteilungen: Ob die Polizei in Herne die Fußgänger zählt, die bei »rot« über die Ampel gegangen sind (74 in 4 Stunden) oder ob sich jemand die Mühe macht, die jährlichen Haiattacken zu notieren (etwa 5 enden tödlich). Wie viele Menschen jedes Jahr an Malaria sterben (weit über 1 Million Menschen). Wie viele Tote es bei einem Flugzeugabsturz gab. Wie viele rote Blutkörperchen das Labor nachweist (ein erwachsener Mensch verfügt über rund 25.000 Milliarden Erythrozyten), wie viel Alkohol in diesem Blut fließt oder wie viele Stimmen der neue Superstar bekommt; immer sind es Häufigkeiten, die da angegeben werden.

In einer Abiturklasse mit 20 Schülern wurden in einer Mathematikklausur folgende Noten vergeben (ich weiß, so schlechte Ergebnisse sind seit langem unerwünscht und deshalb genau so lange nicht mehr vorgekommen): 1, 2, 3, 4, 5, 1, 5, 4, 3, 3, 2, 5, 5, 3, 2, 3, 3, 1, 5, 3.

Oder als sogenannte Urliste:

b ₁b ₂b ₃b ₄b ₅b ₆b ₇b ₈b ₉b ₁₀b ₁₁b ₁₂b ₁₃b ₁₄b ₁₅b ₁₆b ₁₇b ₁₈b ₁₉b ₂₀

Wir wissen schon, dass uns ein solcher Zahlenfriedhof nicht weiterfhilft und wir die Daten ordnen und angeben, wie oft ein Beobachtungswert vorkommt: 3mal die 1, 3mal die 2, 7mal die 3, 2mal die 4 und 5mal die 5:

x _ih _i

Wir erinnern uns: x_i sind die möglichen Merkmalsausprägungen, h_i sind die dazugehörigen (h = absoluten) Häufigkeiten.

In einer zweiten Untersuchung prüft eine Hochschule in einem Eingangstest 1000 Studierwillige in Mathematik (eingeladen wurden die Besten aus 5312 Bewerbern), erzielt wurden folgende Ergebnisse:

x _ih _i

Welche Gruppe war nun besser? Die absoluten Häufigkeiten können diese Frage nur schwer beantworten, da beide Verteilungen schon vom Niveau her nur schlecht vergleichbar sind. Jede Note kommt in der Eingangsprüfung häufiger vor als in der Abiturklasse. Der grafische Vergleich verbessert die Situation ein wenig, konkrete Ergebnisse sind aber auch hier nur schwerlich abzulesen (

Abb. 1.1 und 1.2).

Abb. 1.1: Noten von Abiturienten in Mathematik

Abb. 1.2: Noten von Studienanfängern in Mathematik

Leichter vergleichbar sind die relativen Häufigkeiten f_i. Dazu werden die Ergebnisse als Teil des Gesamten dargestellt (jeweils geteilt durch die Summe n): 3 von 20 sind z. B. 0,15, 210 von 1000 = 0,21 usw. Wir erhalten nun folgende Tabellen:

x _ih _if _i

x _ih _if _i

Möchte man also sehr unterschiedlich große statistische Massen miteinander leichter vergleichen, bietet es sich an, statt den absoluten Häufigkeiten (h_i) die relativen Häufigkeiten (f_i) zu verwenden. Wir erhalten Prozentzahlen, die sich immer auf die Masse als Ganzes beziehen und somit direkt vergleichbar sind. Es gilt:

Nun kann man beide Verteilungen in einer Grafik darstellen; verändert hat sich die Achsenbeschriftung der Ordinate (

Abb. 1.3).

Abb. 1.3: Noten in Mathematik (schwarze Säulen Studienanfänger, graue Säulen Schulabgänger)

Man erkennt sofort, dass es unter den Studienanfängern (in Mathematik) vergleichsweise weniger gute und sehr gute gibt. Die Hochschule schätzt das Niveau ihrer Studienanfänger offensichtlich anders (schlechter) ein als die abgebenden Schulen.

Ein weiteres illustrierendes Beispiel ist der folgende Auszug aus einer Spieltagsstatistik (lassen wir offen, wie vertrauenswürdig diese Zahlen sind und wie sie zusammengestellt wurden, denn was ist denn wohl eine erfolgreiche Flanke und was der Unterschied zwischen gewonnenen Tackles und gewonnenen Zweikämpfen?). Es zeigt aber noch einmal anschaulich, wie relative Häufigkeiten eingesetzt werden.

KSCVfL

In diesem Zusammenhang können wir auch gleich die sogenannten Summenhäufigkeiten erklären (gekennzeichnet mit H_i und F_i statt h_i und f_i), die sich immer dann ausrechnen lassen, wenn die Werte der Größe nach geordnet werden können. Wir addieren dazu die Häufigkeiten bis zum entsprechenden Wert, es gilt:

Also erhalten wir:

x _ih _if _iH _iF _i

x _ih _if _iH _iF _i

Dazu noch eine Anmerkung: Man sollte nicht einfach die f_i aufaddieren, sondern die F_i für jedes x_i neu berechnen. Damit vermeidet man die Addition von gerundeten Zahlen, F_n (hier: F₅) wird dann auf jeden Fall 1,00 und nicht 0,99 oder 1,01, was letztendlich keinen Sinn ergeben würde.

Summenhäufigkeiten beantworten beispielsweise die Frage: Wie viele hatten eine 4 oder eine bessere Note (in der Abiturklasse 15 bzw. 75%, in der Studienbewerbergru...

Table of contents

• Deckblatt
• Titelseite
• Impressum
• Inhalt
• Ein Vorwort, das man lesen sollte
• 0 Statistik ist überall – eine Einführung
• 1 Nur eine Größe interessiert uns – eindimensionale Verteilungen
• 2 Die Abhängigkeit zwischen mehreren Größen – mehrdimensionale Verteilungen
• 3 So stehen zwei Größen zueinander – Arten von Indizes
• 4 Epilog: Plötzlich ist man arm
• Anhang 1: Eine Übung zur vollständigen Berechnung von Lage- und Streuungsparametern
• Anhang 2: Eine Übung zur vollständigen Regressions- und Korrelationsberechnung
• Anhang 3: Eine Übung zur vollständigen Indexberechnung
• Stichwortverzeichnis