Matematica: funzioni logaritmiche, esponenziali e iperboliche

Simone Malacrida

• Publisher: Simone Malacrida
• Year: 2016
• ISBN:
  9781523607679
• Topic: Mathematics
• Subtopic: Algebra
• Index: Mathematics

In questo libro sono presentati i presupposti teorici dei seguenti argomenti matematici:
funzioni logaritmiche
funzioni esponenziali
funzioni iperboliche
Ogni argomento è trattato mettendo in risalto le applicazioni pratiche e risolvendo alcuni esercizi significativi.

II

FUNZIONI LOGARITMICHE

Definizione e proprietà

La funzione inversa dell’elevamento a potenza dato dalle funzioni esponenziali è detto logaritmo.

Il logaritmo è dunque un numero che, in una data base, è l’esponente al quale la base deve essere elevata per ottenere il numero medesimo.

Tradotto in formule si ha:

E si legge “y è il logaritmo in base a di x”.

Dalle proprietà delle potenze si vede che a deve essere per forza positivo.

Difatti se fosse negativo, l’elevamento a potenza non sarebbe definito per tutti i numeri reali e se fosse nullo l’operazione di logaritmo sarebbe o impossibile o indeterminata.

Inoltre a non potrà mai essere uguale a uno in quanto si avrebbe il medesimo caso di impossibilità o indeterminatezza.

Tutto ciò deriva da quanto detto per le potenze, in particolare che una base pari rispettivamente a zero e uno restituisce sempre zero o uno indipendentemente dall’esponente.

Proprio dalle proprietà delle potenze si ricava una condizione di esistenza circa l’argomento del logaritmo che deve essere per forza sempre positivo.

Per fare ciò, sono molto utili le seguenti proprietà dei logaritmi:

Che generalizzano gli elementi neutri e le trasformazioni da numeri a logaritmi.

Inoltre il logaritmo di un prodotto è pari alla somma dei logaritmi e il logaritmo di un quoziente è pari alla differenza tra logaritmi:

Queste proprietà riportano le operazioni di moltiplicazione e divisione tra numeri qualunque in semplici addizioni e sottrazioni di logaritmi.

Allo stesso modo si possono semplificare l’elevamento a potenza e l’estrazione di radice, semplicemente con coefficienti moltiplicativi da anteporre al logaritmo, come segue:

Con queste proprietà è anche semplice cambiare base ad un logaritmo:

Un caso particolare è dato dallo scambio tra base del logaritmo e argomento dello stesso:

Tutte le proprietà dei logaritmi altro non sono se non una diversa formulazione delle proprietà delle potenze.

Le basi fondamentali dei logaritmi sono la base dieci, detti logaritmi decimali e indicati solamente con la dicitura log omettendo il pedice dieci e la base data dal numero di Nepero, chiamata anche base naturale il cui logaritmo (naturale) è indicato con la sigla ln.

Dato un generico logaritmo, se la base è maggiore di uno (e l’argomento è per forza maggiore di zero, per le condizioni di esistenza), il grafico è dato dalla seguente figura:

Nel...