Esercizi di matematica: analisi funzionale

Simone Malacrida

• Publisher: Simone Malacrida
• Year: 2016
• ISBN:
  9781523673209
• Topic: Matematica
• Subtopic: Analisi funzionale

In questo libro sono svolti degli esercizi riguardo i seguenti argomenti matematici:
spazi di Banach e di Hilbert
operazioni in spazi vettoriali
misura e integrale di Lebesgue
Sono altresì presentati dei cenni teorici iniziali per fare comprendere lo svolgimento degli esercizi.

I

CENNI TEORICI

Introduzione e definizioni

L’analisi funzionale è quella parte dell’analisi matematica che tratta lo studio degli spazi di funzioni.

Definiamo immersione una relazione tra due strutture matematiche tali che una delle due contiene un sottoinsieme dell’altra e ne conserva le proprietà.

Sostanzialmente, l’immersione estende all’analisi funzionale il concetto di inclusione degli insiemi.

Una struttura matematica è immersa in un’altra se esiste una funzione iniettiva tale che l’immagine della prima struttura secondo la funzione conserva tutte, o anche solo parte, delle strutture matematiche.

L’inclusione insiemistica è un’immersione che viene detta canonica.

Un’immersione topologica tra due spazi topologici è un’immersione se è un omeomorfismo.

Un’immersione tra spazi metrici è una relazione che mantiene il concetto di distanza, a meno di un fattore di distorsione.

Dato uno spazio topologico e due sottoinsiemi V e W di esso, si dice che V è immerso in modo compatto in W se la chiusura di V è compatta e se:

Dati due spazi normati (a breve ne descriveremo le caratteristiche) di cui uno incluso nell’altro, se la funzione di inclusione è continua allora si dice che il primo è immerso continuamente nel secondo.

Inoltre se qualsiasi insieme limitato nel primo spazio è precompatto nell’altro spazio (ossia qualunque sottosuccessione in tale insieme limitata ha una sottosuccessione che è di Cauchy nella norma di riferimento), allora il primo spazio è immerso in modo compatto nel secondo.

Un risultato di analisi matematica particolarmente importante in analisi funzionale è il teorema di Ascoli-Arzelà.

Una successione di funzioni continue uniformemente limitata è equicontinua se vale:

Il teorema afferma che una successione equicontinua e uniformemente limitata ammette una sottosuccessione convergente in modo uniforme.

Norme e spazi normati

Si dice spazio pseudometrico, uno spazio che ha le medesime caratteristiche di uno spazio metrico salvo la richiesta che la distanza sia diversa da zero per ogni coppia di punti distinti.

Si dice spazio ultrametrico, uno spazio nel quale la disuguaglianza triangolare assume questa forma:

Definiamo norma su uno spazio vettoriale reale o complesso una funzione omogenea, definita positiva e tale per cui vale la disuguaglianza triangolare:

È detta norma p la seguente funzione di R e C n-dimensionali:

La norma 1 è la semplice somma dei valori assoluti, la norma 2 è la cosiddetta norma euclidea:

La norma infinito è invece così definita:

Ogni norma induce una metrica tramite la distanza così definita:

Ad esempio, la norma euclidea induce la metrica euclidea in uno spazio, detto appunto euclideo.

Due norme sono equivalenti se esistono due costanti tali per cui vale la seguente relazione:

Tutte le norme definibili su uno spazio vettoriale di dimensione finita sono equivalenti e inducono la stessa topolog...