Caso, probabilità e complessità

Angelo Vulpiani

• Publisher: Ediesse
• Year: 2015
• ISBN:
  9788823019317
• Topic: Sciences biologiques
• Subtopic: Dissertations sur la science

Nonostante il ruolo fondamentale che occupa in molte scienze, la probabilità rimane una delle branche della matematica quasi sconosciuta in ambito non specialistico. I testi divulgativi la liquidano in poche pagine, discutendo spesso soltanto esempi un po' banali, evitando gli sviluppi più recenti, lasciando il lettore con la sensazione che la probabilità sia una scienza misteriosa, vaga e piena di paradossi. Prendendo per spunto una serie di dialoghi su questioni di tutti i giorni (dal gioco del lotto all'omeopatia, dalle diagnosi mediche alla «lettura del pensiero») il testo conduce il lettore alla scoperta dei principali aspetti della teoria della probabilità, di alcune sue applicazioni fino a quelle più avanzate che hanno permesso l'introduzione dei concetti di caos, frattale e complessità algoritmica, nonché di alcuni protagonisti del suo sviluppo. Il libro è risultato tra i finalisti del Premio Nazionale di Divulgazione Scientifica 2014

Capitolo primo

Probabilità e leggende metropolitane

In ogni tempo c’è solo una sottile zona che divide quello che è banale da quello che è difficile in modo impossibile. È in quella zona che si fanno le scoperte.

Andrei N. Kolmogorov, Diario

Nella vita di tutti i giorni incontriamo continuamente situazioni incerte, fuori delle nostre capacità di controllo e previsione. In queste circostanze usiamo parole come caso, incertezza e aleatorietà. La scienza che tratta questi problemi è la teoria della probabilità, una branca della matematica nata molto tardi (gli albori sono all’inizio del XVII secolo).

Nonostante la probabilità sia onnipresente nella scienza e nella tecnologia, la sua conoscenza non è affatto diffusa. La letteratura divulgativa è scarsa (in particolare se paragonata a quella su argomenti della fisica come la cosmologia e la meccanica quantistica) e spesso poco accurata. In genere la probabilità viene presentata come una scienza approssimativa e circondata da un’aura di ingiustificato mistero.

Questo capitolo ripercorre i primi passi della teoria della probabilità e introduce i suoi aspetti più importanti nelle applicazioni, in particolare la probabilità condizionata, la legge dei grandi numeri e il teorema del limite centrale. La comprensione del concetto di probabilità condizionata è fondamentale per sfatare molti luoghi comuni errati (ad esempio sul gioco del lotto) e comprendere situazioni che vengono presentate come paradossali, ma tali non sono. La legge dei grandi numeri e il teorema del limite centrale costituiscono un ponte tra la teoria e la pratica, e inoltre mostrano come la teoria della probabilità non sia affatto la scienza del vago.

1. Numeri ritardatari e ricevitorie fortunate

Cliente - Ho saputo che nella sua ricevitoria negli ultimi tempi ci sono state diverse vincite al lotto, evidentemente lei porta fortuna.

Gestore - È piacevole sapere che qualcuno del quartiere è stato fortunato, e poi dopo questa serie di vincite il numero di giocate è raddoppiato. Per me è buono (abbiamo una percentuale sulle giocate), però non c’è nessun motivo per preferire questa ricevitoria.

Cliente - Come non c’è motivo? Se ci sono state parecchie giocate fortunate la gente crede che da lei sia più facile vincere; mi sembra che non faccia una piega.

Gestore - Ovviamente per me va bene; che numero gioca?

Cliente - Il 53 sulla ruota di Napoli.

Gestore - Oggi già una ventina di persone hanno giocato il 53.

Cliente - Ovvio, il 53 non esce da 150 estrazioni, meglio giocarlo.

Gestore - E perché mai?

Cliente - Mi sembra evidente, non crede che sia difficile che un numero non esca 151 volte di seguito?

Gestore - Certo che è difficile che il 53 non esca per 151 volte di seguito; però lei scommette su una situazione diversa: il 53 non è uscito per 150 volte e lei crede che la sua probabilità di uscita alla prossima estrazione sia maggiore di quella di un altro numero.

Cliente - Ovvio che è più probabile, prima o poi deve uscire. L’ha appena detto lei che è molto difficile che il 53 non esca per 151 volte di seguito.

Gestore - Non bisogna fare confusione tra due eventi completamenti diversi:

a) non avere l’uscita del 53 per 151 volte di seguito;

b) il 53 non esce dopo che non è uscito 150 volte.

Poiché la probabilità che il 53 esca è 1/18, la probabilità che non esca è 1 - 1/18 = 17/18, quindi la probabilità nel primo caso è

Nel secondo caso sapere che il 53 non è uscito 150 volte è irrilevante (in quanto le estrazioni sono indipendenti), quindi la probabilità è 1 - 1/18 = 17/18 ≃ 0,9444 = 94,44%: due valori ben diversi!

Cliente - Non ho capito; io ho un’altra teoria. Comunque, se permette, saranno fatti miei, mi gioco il 53.

Gestore - Semplicemente lei pensa, sbagliando, che se il 53 non è uscito tante volte di seguito allora la prossima volta è più facile che esca.

Cliente - Proprio così.

Gestore - Ho cercato di spiegarle che lei confonde due eventi diversi. Visto che non l’ho convinta mi dica perché crede che sia più facile vincere giocando in questa ricevitoria.

Cliente - Ma è ovvio: da lei ci sono state tante vincite, quindi sarà più probabile che ce ne siano altre!

Gestore - Ma questo è il contrario della sua teoria sui numeri ritardatari; per coerenza dovrebbe giocare in qualche ricevitoria dove nessuno ha mai vinto.

Cliente - Ma è assurdo, comunque io gioco il 53.

Gestore - Per me non ci sono problemi, ho la percentuale. Comunque, tanto per parlare ancora di numeri ritardatari, mi permetta di proporle un gioco.

Cliente - Sentiamo.

Gestore - Sicuramente lei avrà una tombola a casa; estragga 5 numeri e se li annoti, li rimetta dentro e ripeta per un po’ di volte (diciamo 150), poi vada a cercare il numero che non è uscito per più volte di seguito e se lo giochi.

Cliente - Adesso mi prende pure in giro! Non vedo la connessione di questo giochino con la tombola e i numeri ritardatari.

Gestore - Ci pensi un po’, è la stessa cosa.

Cliente - Forse ha ragione, però lei scoraggia il gioco, è contro i suoi interessi.

Gestore - In effetti mia moglie mi rimprovera, dice che sono un illuminista ingenuo. Anche Laplace all’inizio del XIX secolo cercò, inutilmente, di convincere il Parlamento francese dell’immoralità del gioco del lotto.

Cliente - Lei e i matematici non ci volete lasciare neanche il piacere di giocare e sperare in una vincita, mica siamo tutti tanto ricchi da andare a Monte Carlo.

Gestore - A dirla tutta è più conveniente giocare alla roulette.

Cliente - Questa poi, ma se a Monte Carlo la gente ci si rovina!

Gestore - Se fosse per questo si rovina anche al gioco del lotto. Facciamo due conti: alla roulette se lei punta sul 23 ed esce prende 36 volte la posta, il gioco è (ovviamente) a favore del banco (infatti c’è lo zero sul quale non si può puntare); se il banco fosse completamente corretto dovrebbe pagare 37 volte la puntata. In ogni caso la roulette è molto meglio del gioco del lotto: il singolo estratto prende poco più di 11 volte la posta invece di 18, l’ambo prende 250 volte invece di 400,5, ancora peggio per il terno ecc.

Cliente - Ha ragione sua moglie, lei non solo è un illuminista ingenuo, ma anche masochista, vuole forse far chiudere il lotto?

Gestore - Certo che no, pagare una piccola somma per il piacere di giocare (e sperare di vincere) non è poi così grave. È come con l’alcol e il fumo che fanno male, però bersi ogni tanto una buona grappa o fumarsi un bel cubano è un piacere che è stupido negarsi.

Cliente - E allora se dipendesse da lei cosa farebbe?

Gestore - Il banco (in ultima istanza lo Stato) dovrebbe comportarsi come con la vendita delle sigarette (sui pacchetti delle quali sono riportate frasi del tipo «Il fumo provoca tumori ai polmoni», cosa vera ma in qualche modo vaga). Nel caso del gioco del lotto sarebbe ancora più facile e oggettivo, basterebbe scrivere: «le probabilità della vincita puntando sul singolo estratto, ambo, terna, quaterna e cinquina sono rispettivamente 1/18; 1/400,5; 1/11748; 1/511038 e 1/43949268 mentre il banco paga rispettivamente 11,23; 250; 4500; 120000 e 6000000», così il giocatore avrebbe tutti i dati oggettivi e potrebbe decidere se giocare o meno. Proprio un sogno da irriducibili illuministi.

2. Esami di laboratorio

Ipazia - La vedo preoccupata, cosa succede?

Letizia - Mio marito ha fatto un’analisi per una malattia molto rara, ho ritirato l’esame che purtroppo risulta positivo.

Ipazia...