Klassische Mechanik

Vom Weitsprung zum Marsflug

Rainer Müller

• Publisher: De Gruyter
• Year: 2015
• Print ISBN: 9783110445299
• eBook ISBN: 9783110445473
• Edition: 3
• Topic: Physical Sciences
• Subtopic: Mathematical & Computational Physics

Die sorgfältig überarbeitete Neuauflage dieses Buches bietet eine gründliche Einführung in die klassische Mechanik – aber noch viel mehr. Alle Themen werden anhand von konkreten Beispielen aus Alltag und Technik erarbeitet: vom Weitsprung-Weltrekord zum Marsflug, vom schrägen Wurf zu den keplerschen Gesetzen. Die konsequente Orientierung des Physiklernens an spannenden Kontexten macht dieses Lehrbuch einzigartig.

Das Buch richtet sich an Studierende der Anfangssemester, auch an Studierende mit Nebenfach Physik. Mathematische Vorkenntnisse werden nur in geringem Umfang vorausgesetzt. Physiklehrer und Lehramtsstudierende finden eine Fülle von Anregungen, wie es gelingen kann, physikalische Inhalte auf lebendige Weise zu vermitteln.

Das Trägheitsgesetz

1.1 Die deterministischen Gesetze der Mechanik

Warum man beim Bogenschießen zielt

In der Mechanik geht es um Bewegung. Alles dreht sich um die Frage, wie Dinge sich von Ort zu Ort bewegen und auf welche Weise sie dabei ihre Geschwindigkeit verändern. Wir können so unterschiedliche Vorgänge beschreiben wie die Flugbahn eines Pfeils, die Bewegung eines Zahnrädchens in einem komplizierten Getriebe oder den Start einer Rakete. Die Mechanik stellt uns die begrifflichen und mathematischen Hilfsmittel dafür zur Verfügung.

Dabei ist mit „beschreiben“ nicht einfach nur gemeint, dass wir für einen Versuch des Bogenschützen in Abb. 1.1 die Bahnkurve seines Pfeils erfassen und wiedergeben. Es würde dem Sportler wenig nützen, wenn er nach jedem Schuss lediglich zur Kenntnis nehmen könnte, ob er getroffen hat oder nicht – ohne daraus für den nächsten Schuss eine Lehre zu ziehen. Nein, die Möglichkeiten in der Mechanik gehen viel weiter. Man kann Vorhersagen für den nächsten Schuss treffen. Wenn der Bogenschütze es beim Wettkampf schafft, genauso zu zielen, wie er es im Training tausendmal geübt hat, wird ihm der Schuss ins Schwarze glücken. Er weiß auch, dass er nach einem missglückten Schuss etwas höher oder tiefer zielen muss, um ins Ziel zu treffen. Das Zielen hat nur deshalb einen Sinn, weil sich der Pfeil nach bestimmten Gesetzen bewegt und nicht einfach einen völlig unvorhersehbaren Weg nimmt. Ob er ins Ziel treffen wird, steht schon im Augenblick des Abschusses fest. Die Flugbahn des Pfeils ist determiniert. Beim Zielen setzt der Bogenschütze voraus, dass er die Flugbahn des Pfeiles bereits durch das Festlegen der Anfangsbedingungen bestimmen kann.

Abb. 1.1: Determinismus in der klassischen Mechanik: Die Flugbahn des Pfeils ist durch die Anfangsbedingungen vorherbestimmt.

In der Mechanik suchen wir nach den Gesetzen, nach denen sich Gegenstände bewegen. Um ein vertieftes Verständnis zu erlangen, formulieren wir sie mathematisch, denn dadurch können wir Regelmäßigkeiten hinter den Phänomenen entdecken, die uns bei ihrer bloßen Beobachtung und Beschreibung verborgen geblieben wären. Die Beschäftigung mit den Gleichungen, die ein physikalisches Phänomen beschreiben, kann unser intuitives Verständnis ebenso schulen wie der experimentelle Umgang mit ihm.

1.2 Formulierung des Trägheitsgesetzes

Das Grundgesetz der Mechanik kann man qualitativ in wenigen Worten formulieren: „Die Ursache von Geschwindigkeitsänderungen eines Körpers sind Kräfte“. So einfach sich das anhört, so gründlich wird es oft missverstanden. Daher wollen wir schrittweise vorgehen. Bevor wir Bewegungen unter dem Einfluss von Kräften betrachten, soll dieses Kapitel ganz den Bewegungen gewidmet sein, bei denen keine Kräfte auf die betrachteten Körper wirken.

Aus der Forschung über das Lernen von Physik wissen wir, dass die folgende Vorstellung häufig zu finden ist: „Körper, auf die keine Kräfte wirken, bewegen sich auch nicht.“ Im Alltag kann man mit einer solchen Auffassung sicherlich erfolgreich zurechtkommen. Sie muss sich nicht oft bewähren, denn im normalen Leben begegnen uns nur selten Körper, auf die keine Kräfte wirken. Physikalisch ist die Aussage aber falsch. Sehen wir uns ein Beispiel an.

Der Sturz der Skateboarderin

Eine Skateboarderin fährt auf einer Straße gleichmäßig mit konstanter Geschwindigkeit (Abb. 1.2). Sie passt nicht auf und rollt auf eine Bordsteinkante, die das Skateboard abrupt abbremst. Die Skaterin kann sich nicht auf den Beinen halten, fällt nach vorn und liegt schließlich bäuchlings auf dem Boden.

Wenn man das Geschehen als Zuschauer beobachtet, fragt man sich vielleicht, aus welchem Grund die Skaterin nach vorn fällt. Was ist die Ursache dafür, dass sie sich nach dem Stopp des Skateboards „in Bewegung setzt“? Ein physikalisch halbgebildeter Passant antwortet vielleicht: „Es sind die Trägheitskräfte, die dafür verantwortlich sind“. Spätestens jetzt ist der Zeitpunkt gekommen, uns mit leichtem Grausen von der Szenerie abzuwenden und den Vorgang aus physikalischer Perspektive zu betrachten (was man unter dem Begriff „Trägheitskräfte“ zu verstehen hat, wird in Kapitel 12 erläutert).

Physikalische Beschreibung des Sturzes

Die Frage, was die Skaterin in Bewegung setzt, ist falsch gestellt. Sie wird nämlich gar nicht in Bewegung gesetzt. Sie ändert ihren Bewegungszustand überhaupt nicht, denn sie bewegt sich (jedenfalls anfänglich) gleichmäßig weiter. Sehen wir uns Abb. 1.2 genauer an: Die Strecke, die der Kopf der Skaterin in jeweils einer Sekunde zurücklegt, ist immer die gleiche – auch noch nach dem Aufprall. Ihre Geschwindigkeit ändert sich anfangs also nicht.

Abb. 1.2: Eine Skateboarderin fährt gegen eine Bordsteinkante.

Allerdings ändert sich die Geschwindigkeit des Skateboards durch das Auffahren auf die Bordsteinkante. Es bleibt plötzlich stehen. Dadurch werden auch die Füße der Skaterin abgebremst, denn sie haften durch Reibung am Skateboard. Weil Rumpf und Kopf sich zunächst unverändert weiterbewegen, bleiben die Füße hinter dem Kopf zurück. Der Körper gerät in eine Schräglage. Das Ganze endet damit, dass die Skaterin zu Boden fällt.

Wir können die aus physikalischer Sicht wichtige Beobachtung festhalten: Die Skaterin bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter, solange keine äußere Kraft auf sie wirkt. Die äußere Kraft, die ihre Füße schließlich abbremst, ist die Reibungskraft, die vom Skateboard ausgeübt wird. Der Rumpf bewegt sich noch eine Zeitlang weiter.

Das Trägheitsgesetz

Diese Feststellung, die wir hier an einem speziellen Beispiel illustriert haben, gilt ganz allgemein. Sie gibt eines der drei newtonschen Grundgesetze der Mechanik wieder: das Trägheitsgesetz.

Erstes newtonsches Gesetz (Trägheitsgesetz):

Jeder Körper beharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern.

Einige Bemerkungen zu diesem Gesetz (das hier traditionsgemäß in der ins Deutsche übersetzten Originalformulierung Newtons wiedergegeben wurde):

(1) Für eine geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit („geradlinig-gleichförmig“) wird keine Ursache angegeben. Wenn ein Körper sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit bewegt, tut er das unbegrenzt, solange keine bremsenden, beschleunigenden oder ablenkenden Kräfte auf ihn einwirken. Die Frage „Was treibt den Körper bei der geradliniggleichförmigen Bewegung an?“ ist somit irreführend bzw. falsch gestellt. Das Trägheitsgesetz ist in der newtonschen Mechanik ein nicht weiter zu hinterfragendes Axiom.

(2) Im Alltag sind Ruhe und Bewegung Gegensätze. Das Trägheitsgesetz unterscheidet dagegen nicht zwischen Ruhe und geradlinig-gleichförmiger Bewegung. Ruhe ist im Trägheitsgesetz nur ein Spezialfall der geradlinig-gleichförmigen Bewegung (der Fall nämlich, für den die konstante Geschwindigkeit gerade den Wert null besitzt).

Die Unmöglichkeit, Ruhe und gleichförmige Bewegung zu unterscheiden, ist eng mit einem grundlegenden Prinzip verknüpft, das erst 1905 von Einstein wirklich ernst genommen wurde: dem Relativitätsprinzip. Es besagt, dass die Gesetze der Mechanik (also auch das Trägheitsgesetz) in allen Bezugssystemen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit relativ zueinander bewegen, die gleiche Gestalt haben. Der Ruhezustand kann nach dem Relativitätsprinzip schon deshalb nicht ausgezeichnet sein, weil man jeden geradlinig-gleichförmig bewegten Körper zu einem ruhenden Körper machen kann, wenn man ihn aus einem mitbewegten Bezugssystem betrachtet.

(3) In rotierenden oder beschleunigten Bezugssystemen gilt das Trägheitsgesetz nicht (von einem rotierenden Bezugssystem aus betrachtet werden geradlinige Bahnen zu Spiralbahnen und Ähnlichem). Vollständig ausformuliert sollte das Trägheitsgesetz deshalb lauten: „Man kann immer Bezugssysteme finden, in dem sich kräftefreie Körper geradlinig-gleichförmig bewegen“. Solche Bezugssysteme sind nichtrotierend und unbeschleunigt. Man nennt sie Inertialsysteme.

Unanschaulichkeit des Trägheitsgesetzes

Warum kommt uns das Trägheitsgesetz so unanschaulich vor? Dem „gesunden Menschenverstand“ will es gar nicht einleuchten, dass ein Körper, der einmal angestoßen wurde, sich unbegrenzt weiter bewegen soll. Alle unsere Alltagserfahrungen sprechen dagegen. In Dortmund einmal kurz auf das Gaspedal drücken und damit bis nach Berlin kommen – wünschenswert wäre das schon. Reibung und Luftwiderstand verhindern es leider.

Weil Reibungskräfte in unserer Umwelt so allgegenwärtig sind, kommen kräftefreie Bewegungen kaum vor. Das Trägheitsgesetz wird man daher kaum durch reine Beobachtung von Alltagsvorgängen gewinnen. Und entsprechend zeigt die Wissenschaftsgeschichte auch, dass 2000 Jahre bewusster Naturbeobachtung bis zu seiner Formulierung vergingen (Kasten 1.1).

Die unreflektierten Vorstellungen, die wir seit der Kindheit in der Auseinandersetzung mit unserer Umwelt entwickelt haben, entsprechen ziemlich genau dem „motor“-Konzept von Aristoteles. Für jegliche Bewegung scheint uns ein Antrieb nötig, damit sie nicht zum Erliegen kommt. Ruhe und Bewegung sind für uns wesensverschieden.

Kasten 1.1
Geschichte des Trägheitsgesetzes

Obwohl in der Antike an spekulativen Entwürfen zur Erklärung der Welt kein Mangel herrschte, gelang es doch nicht, in der richtigen Weise von der Alltagserfahrung zu abstrahieren und eine tragfähige Vorstellung von der Trägheit zu entwickeln. Aristoteles kam einer wirklichen Theorie der Bewegung am nächsten. In bewusster Abgrenzung zur spekulativen Ideenlehre Platons blieb aber gerade erzunahe andenbeobachtbaren Phänomenen, um den Abstraktionsschritt zum Trägheitsgesetz vollziehen zu können. Für Aristoteles erforderte jede Bewegung einen Beweger („motor“): „Alles was sich bewegt, wird von etwas anderem bewegt“. Wenn der Beweger wegfällt, kommt die Bewegung zum Erliegen.

Schon ganz in die Nähe des modernen Trägheitsbegriffs gelangte Galilei. Ausgehend von seinen Rollversuchen an der schiefen Ebene, erklärte er in seinem „Dialogo“, dass eine einmal angestoßene Kugel nach Beseitigung aller äußeren Hindernisse auf einer „weder steilen noch geneigten Ebene“ sich unbegrenzt weiter bewegen würde. Aus dem Zusammenhang wird jedoch auch klar, dass Galilei hier eine unbegrenzte Kreisbewegung (entlang der Erdoberfläche) im Sinn hatte.

Die tradierten Denkmuster waren mit Galilei noch nicht ganz überwunden. Zum vollständigen Trägheitsgesetz war der Schritt aber nur noch so klein, dass nicht mehr sicher zu rekonstruieren ist, wer ihn als erster getan hat: Beeckman, Descartes oder Huygens. Newton war es dann, der das Trägheitsgesetz 1687 in seinen „Principia“ endgültig formulierte (die Abbildung oben zeigt die drei newtonschen Bewegungsgesetze im Original).

Abb. 1.3: Ganz ohne Antrieb bewegt sich die Raumsonde Voyager I nach Verlassen des Sonnensystems immer weiter geradlinig durch den Weltraum.

Antriebslose Reise durch den Weltraum

Im Weltraum offenbart sich das Trägheitsgesetz viel deutlicher als auf der Erde. Ein Beispiel ist die ...

Table of contents

• Abdeckung
• Titelseite
• Impressum
• Inhaltsverzeichnis
• Vorwort
• 1 Fundamentale Konzepte: Das Trägheitsgesetz
• 2 Geschwindigkeit und Beschleunigung – Bewegungen im Sport
• 3 Fundamentale Konzepte: Das newtonsche Bewegungsgesetz
• 4 Das newtonsche Gesetz anwenden – Sicherheit im Auto
• 5 Fundamentale Konzepte: Arbeiten mit der newtonschen Mechanik
• 6 Reale Bewegungen modellieren – Ein Sturz aus 30 000 m Höhe
• 7 Fundamentale Konzepte: Energieerhaltung
• 8 Impulserhaltung – Bruce Willis rettet die Welt
• 9 Raketen – Der Start einer Saturn V
• 10 Himmelsmechanik – Per Anhalter zu den Planeten
• 11 Elastische Stöße – Der Swingby-Mechanismus
• 12 Gezeiten und beschleunigte Bezugssysteme – Raumstationen
• 13 Gleichgewicht und Drehbewegungen – Ein Ballett-Divertissement
• 14 Geführte Bewegungen und Zwangskräfte – Achterbahnen
• A Mathematische Methoden
• B Wichtige Formeln und Gesetze im Überblick
• C Literatur
• D Bildnachweis
• Sachregister
• Fußnoten