Fehlerlehre und Ausgleichsrechnung

Walter Höpcke

• Publisher: De Gruyter
• Year: 2015
• Print ISBN: 9783110075144
• eBook ISBN: 9783110838206
• Edition: 1
• Topic: Mathematik
• Subtopic: Mathematik Allgemein

Table of contents

• 1 Einführung in die Algebra der Matrizen
• 11 Definition der Matrix, Sonderformen und Bezeichnungen
• 11.1 Matrix
• 11.2 Bezeichnungen
• 11.3 Transponierte Matrix
• 11.4 Überschaubarkeit der Formeln
• 11.5 Determinante
• 11.6 Diagonale und Spur
• 11.7 Aufteilung in Spalten
• 12 Rechenregeln
• 12.1 Addition, Subtraktion
• 12.2 Multiplikation
• 12.3 Summenproben
• 12.4 Lineare Funktionen und Gleichungen
• 12.5 Zweckmäßige Anordnung der Faktoren
• 12.6 Übungen zur Multiplikation
• 13 Inversion der Matrizen
• 13.1 Definition
• 13.2 Determinantenformel
• 13.3 Einfache Inversion bei Sonderformen
• 13.4 Inversion symmetrischer Matrizen
• 13.5 Lineare Gleichungen mit nichtsymmetrischer Koeffizientenmatrix
• 13.6 Matrizeninversion durch Reihenentwicklung
• 13.7 Fehlersuche, Fehlerberichtigung
• 13.8 Wissenswertes
• 13.9 Übungen
• 14 Submatrizen
• 14.1 Erklärung
• 14.2 Vorteile bei numerischen Rechnungen
• 14.3 Übungen
• 15 Lineare Transformationen
• 15.1 Transformation als Abbildung
• 15.2 Orthogonale Transformation
• 16 Differentiation von Matrizenfunktionen
• 16.1 Differentialenvektor und totales Differential
• 16.2 Regeln zur Differentiation linearer und quadratischer Matrizenfunktionen
• 16.3 Extremwert der allgemeinen Gleichung 2. Grades
• 16.4 Übung
• 17 Rang der Matrix
• 17.1 Rangdefekt
• 17.2 Weitere Bezeichnungen
• 17.3 Rang bei Matrizenprodukten
• 17.4 Nullteiler
• 17.5 Bestimmung des Rangs einer Matrix
• 18 Positiv definite Form
• 18.1 Definition und Bezeichnungen
• 18.2 Unterscheidung eingentlich definit und semidefinit
• 18.3 Definitheit bei reell symmetrischen Produkten
• 18.4 Definitheit bei reell symmetrischen Produkten
• 18.5 Bestimmung der Definitheit
• 19 Eigenwert, Eigenvektoren
• 19.1 Das Eigenwertproblem
• 19.2 Spektralmatrix und Modalmatrix
• 19.3 Beispiel
• 19.4 Weitere Zusammenhänge
• 19.5 Beispiel
• 19.6 Übung
• 19.7 Kondition
• 19.8 Pseudoinverse
• 19.9 Idempotenz und Tripotenz
• 2 Fehlerlehre
• 21 Fehlerarten und Begriffe
• 21.1 Ungenauigkeiten
• 21.2 Elementarfehler
• 21.3 Systematische Fehler
• 21.4 Zufällige Fehler
• 21.5 Korrelierte Beobachtungen
• 21.6 Wahre Fehler und Residuen
• 22 Genauigkeitsmaße
• 22.1 Durchschnittlicher Fehler
• 22.2 Mittlerer Fehler
• 22.3 Wahrscheinlicher Fehler
• 22.4 Fehlergrenze
• 22.5 Relativer Fehler
• 22.6 Beispiel
• 23 Korrelation
• 23.1 Erklärung
• 23.2 Definitionen
• 23.3 Beispiel
• 24 Fehlerfortpflanzung
• 24.1 Lineare Funktionen. Ableitung
• 24.2 Lineare Funktionen. Beispiel
• 24.3 Nichtlineare Funktionen. Ableitung
• 24.4 Nichtlineare Funktionen. Beispiel
• 24.5 Sonderfalle beim Linearisieren
• 24.6 Linearisieren durch numerisches Differenzieren
• 24.7 Beispiel
• 25 Mittlerer Fehler
• 25.1 Berechnung aus Residuen
• 25.2 Mittlerer Fehler des einfachen Mittels
• 25.3 Beispiel
• 25.4 Mittlerer Fehler aus Doppelmessungen
• 25.5 Beispiel
• 26 Gewicht und Kofaktor
• 26.1 Gewogenes Mittel
• 26.2 Kofaktoren
• 26.3 Allgemeines Fortpflanzungsgesetz der Kofaktoren
• 26.4 Fehlerfortpflanzung in Funktionen von Funktionen
• 27 Zufallsgrößen, Dichtefunktion, Verteilungsfunktion
• 27.1 Kontinuierliche Verteilungen
• 27.2 Das GAUSSsche Fehlergesetz
• 27.3 Tabellen zur Normalverteilung
• 27.4 Beispiele zum Tabellengebrauch
• 27.5 Diskrete Verteilungen
• 27.6 Die elementaren Fehlermaße in der Normalverteilung
• 27.7 Untersuchung einer Stichprobe auf Normalverteilung
• 28 Mehrdimensionale Verteilungen
• 28.1 Das Bivariat in Normalverteilung
• 28.2 Das Multivariat in Normalverteilung
• 3 Ausgleichung direkter und vermittelnder Beobachtungen
• 31 Die Methode der kleinsten Quadrate
• 31.1 Zwei Begründungen
• 31.2 Erweiterung auf korrelierte Beobachtungen
• 32 Ausgleichung direkter Beobachtungen
• 32.1 Beobachtungsreihe für eine Unbekannte
• 32.2 Mehrfache Messung eines Vektors
• 33 Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen
• 33.1 Linearisieren der Fehlergleichungen
• 33.2 Formelableitung
• 33.3 Beispiel Höhennetz
• 34 Netzverdichtung
• 34.1 Koeffizienten in Richtungs- und Streckenfehlergleichungen
• 34.2 Aufstellen der Fehlergleichungen
• 34.3 Daten für ein Beispiel zur Netzverdichtung
• 34.4 Reduzierte Fehlergleichungen
• 34.5 Gemeinsame Ausgleichung von Richtungen und Strecken
• 34.6 Stationsausgleichungen
• 34.7 Netzverdichtung mit korrelierten Richtungssätzen
• 34.8 Genauigkeit der Punktlage
• 34.9 Helmerts Verfahren zur Netzeinpassung
• 35 Ausgleichungen mit singulärer N-Matrix
• 35.1 Rangdefekte
• 35.2 Datumsdefekt
• 35.3 Konfigurationsdefekt
• 35.4 Zwangsfreie Ausgleichung eines Lagenetzes
• 35.5 Streckennetz Sattenhausen
• 36 Vermittelnde Beobachtungen mit gemessenen Unbekannten oder Bedingungen zwischen den Unbekannten
• 36.1 Zusammenfassen direkter und vermittelnder Beobachtungen
• 36.2 Ausgleichung eines Schwerenetzes
• 36.3 Bedingungen zwischen den Unbekannten
• 36.4 Ausgleichung in zwei Stufen
• 36.5 Stationsausgleichung zur Winkelmessung in der Sektorenmethode
• 36.6 Netzverbesserung durch zusätzliche Messungen
• 37 Einige Ergänzungen
• 37.1 Probe für die Gewichtsreziproken der ausgeglichenen Beobachtungen
• 37.2 Nachträgliches Einbeziehen zusätzlicher Messungen in eine Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen
• 37.3 Ausgleichung ohne Normalgleichungen
• 37.4 Funktionales und stochastisches Modell
• 37.5 Direkte Berechnung der Residuen
• 4 Ausgleichung bedingter Beobachtungen
• 41 Bedingungsgleichungen, Widersprüche
• 41.1.1 Gang der Ausgleichung
• 41.2 Mehrere Bedingungen
• 41.3 Nichtlineare Bedingungen
• 42 Ausgleichung mit mehreren Bedingungen
• 42.1 Formelableitung
• 42.2 Ausgleichung eines freien Nivellementsnetzes
• 42.3 Ausgleichung angeschlossener Nivellements
• 42.4 Bedingungsgleichungen in freien Richtungsnetzen
• 42.5 Angeschlossene Richtungsnetze
• 42.6 Numerische Behandlung von Sinusbedingungen
• 42.7 Ausgleichung eines Vierecks mit kreuzenden Diagonalen
• 43 Ausgleichung ohne Normalgleichungen
• 43.1 Orthogonale Bedingungsgleichungen
• 43.2 Orthogonalisierung der Bedingungsgleichungen mit Beispiel
• 43.3 Iterative Nivellementsausgleichung nach GAUSS-VOGLER
• 43.4 Stationsausgleichung bei der Schweizer Sektorenmethode nach BAESCHLIN
• 44 Bedingungsgleichungen mit Unbekannten
• 44.1 Problem
• 44.2 Formelableitung
• 44.3 Fehlerrechnungen
• 44.4 Azimutbestimmung nach SODANO
• 44.5 Ausgleichungsalgorithmus der Photogrammetr
• 44.6 Beispiel
• 5 Ausgewählte Aufgaben der Ausgleichsrechnung
• 51 Große Dreiecksnet
• 51.1 Additionstheorem der reduzierten Normalgleichungen
• 51.2 Probleme der Netzabgrenzung
• 52 Einfluß vernachlässigter Korrelationen
• 53 Ausgleichende Funktionen
• 53.1 Die Aufgabe
• 53.2 Ausgleichende Gerade und Regressionsgerade
• 53.3 Ausgleichende Sinuslinie
• 53.4 Willkürliche Funktionen
• 53.5 Multiple Abhängigkeiten
• 6 Einige Anwendungen der mathematischen Statistik
• 61 Verteüungsquantilen und Vertrauensbereiche
• 62 t-Verteilung, t-Quantilen und Vertrauensbereich für ζ
• 62.1 t-Verteilung
• 62.2 Quantilen der t-Verteilung
• 62.3 Vertrauensbereich für den Erwartungswert, wenn σ nicht gegeben ist
• 63 χ2-Verteilung und Vertrauensbereich für σ
• 63.1 χ2-Verteilung
• 63.2 Quantilen der χ2-Verteilung
• 63.3 Vertrauensbereich für σ
• 64 Signifikanztest
• 64.1 Problem
• 64.2 Verstärken eines Signifikanzbeweises
• 64.3 Risiken und Macht des Testes
• 65 Teste zu Varianzen und Kovarianzen
• 65.1 F-Verteilung
• 65.2 Quantilen der F-Verteilung
• 65.3 Vergleich empirischer Varianzen
• 65.4 BARTLETTs Homogenitätstest
• 65.5 Verteilung des Korrelationskoeffizienten
• 65.6 Vertrauensbereich und Signifikanztest für den Korrelationskoeffizienten
• 66 Signifikanzteste für die Differenzen zweier Zufallsgrößen
• 66.1 Vergleich zweier empirischer Mittelwerte bei gleicher Varianz der Beobachtungen
• 66.2 Vergleich zweier empirischer Mittelwerte bei ungleicher Varianz der Beobachtungen
• 66.3 Vergleich zweier unabhängig ausgeglichener Werte eines Parameters
• 67 Prüfung von Verteilungen
• 67.1 χ2-Anpassungstest
• 67.2 χ2-Anpassungstest nach MANN und WALD
• 67.3 Anpassungstest der empirischen Summenfunktion nach KOLMOGOROW und SMIRNOW
• 67.4 Spezielle Prüfungsverfahren zur Normalverteilung
• 7 Mathematische Modelle für emprische Erkenntnisse
• 71 Regressionsanalysen
• 71.1 Regressionskoeffizient
• 71.2 Regression im normalverteilten Bivariat
• 71.3 Partielle Korrelation
• 71.4 Multiple Regression
• 72 Kollokation
• 72.1 Begriffe
• 72.2 Beobachtungsgleichungen
• 72.3 Formelableitung
• 72.4 Voraussetzungen für sinnvolle Anwendung
• 72.5 Kovarianzmatrix, positiv definite Funktionen
• Anhang
• Tabelle 1: Wahrscheinlichkeitsdichte der normierten Normalverteilung
• Tabelle 2: Verteilungsfunktion der normierten Normalverteilung
• Literatur
• Sachregister