Chi mai negherebbe l'affermazione che ogni numero pari è la somma di due numeri primi? Anche sforzandosi non viene alla mente nessun contro esempio. Si tratta della congettura di Goldbach che, pur nella sua semplicità espositiva, non è mai stata dimostrata. In questo libro vengono presentati alcuni problemi ancora aperti che destano l'interesse e la curiosità del lettore e, perché no, la sua voglia di cimentarsi in una loro dimostrazione. Dopo aver affrontato in modo scrupoloso i trentatré problemi di Ibn al-Khaww?m, i ventitré di Hilbert e i sette di Clay, gli autori propongono numerosi altri quesiti matematici ancora irrisolti, suddividendoli in capitoli ricchi di spiegazioni, curiosità e cenni storici. Molti problemi descritti sono recentissimi, altri esistono da decenni se non da centinaia di anni, ma tutti hanno il fascino di aver resistito energicamente all'attacco dei matematici. Per chi ha la passione per la matematica, la sfida a trovare la dimostrazione di ogni teorema è lanciata!
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Non è uno dei sette problemi del millennio individuati dal Clay Institute, non è neppure tra i 23 problemi di Hilbert, ma è un problema che ci ha particolarmente interessato (vedi [BL4]) e lo consideriamo tra i grandi.
Nel 1950, nel volume LXXXIII dei Rendiconti dell’Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, veniva pubblicata per i tipi dell’Hoepli una nota di Giuseppe Giuga intitolata Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi presentata all’adunanza del 6 luglio dello stesso anno [GG].
Il matematico partiva dall’assunto che nessun numero composto con meno di mille cifre possa soddisfare la relazione 1n – 1 + 2n – 1 + ... + (n – 1)n – 1 ≡ –1 mod n, che è invece valida per ogni numero primo. Anzi, egli affermò che un numero è primo se e solo se soddisfa la precedente relazione e in questo consiste la cosiddetta congettura di Giuga.
Il piccolo teorema di Fermat1 afferma che, se p è un numero primo, allora abbiamo per a intero a p ≡ a mod p. Una formulazione equivalente ma più ristretta è ap – 1 ≡ 1 mod p dove p è un primo e a è coprimo con p [CJGR]. Come conseguenza di questo teorema abbiamo che tutti i primi p dividono
Il problema è se mai esistano dei numeri composti che soddisfino questa proprietà. Giuga riuscì a dimostrare che
mod p se e solo se per tutti i fattori primi p di n sia p sia p – 1 dividono
Il matematico giapponese Takashi Agoh formulò nel 1990 una rappresentazione equivalente molto elegante, ossia che nBn – 1 ≡ –1 mod n se e solo se n è primo; B è un numero di Bernoulli.
La congettura di Giuga e quella di Agoh sono equivalenti in quanto se esistesse un controesempio per una delle due lo sarebbe automaticamente anche per l’altra. Tale controesempio dovrebbe essere contemporaneamente un numero di Giuga e un numero di Carmichael, ossia dispari e non multiplo di quadrati. Ricordiamo che i numeri di Carmichael sono numeri composti che soddisfano alla relazione b n – 1 ≡ 1 mod n per ogni b coprimo con n. In particolare tali numeri sono il prodotto di tre o più primi dispari distinti e per ognuno di tali primi p vale il criterio di Korselt che afferma che p – 1 divide n – 1.
Ritorniamo però ai numeri di Giuga. Come detto, la relazione
mod n vale solo per n primo. Ma se sostituiamo l’esponente n – 1 con φ (n), cioè con la funzione totiente di Eulero,
mod n vale sempre per tutti i primi ma anche per alcuni composti, detti per l’appunto numeri di Giuga. In particolare n è un numero di Giuga se e solo se
è intero. Il più piccolo numero di Giuga è 30. Essendo i suoi fattori primi 2, 3 e 5 abbiamo
Per tutti questi valori la differenza tra la somma dei reciproci dei fattori primi e il reciproco del numero è pari a 1. Se mai esistessero dei numeri con tale differenza maggiore di 1, dovrebbero avere almeno 59 fattori primi!
Nel 2009, Paolo Lava congetturò che i numeri di Giuga fossero le sole soluzioni dell’equazione n' = n + 1, dove n' è la derivata aritmetica di n. Ossia, indicando la scomposizione in fattori primi con
i numeri di Giuga sarebbero le uniche soluzioni di
La congettura equivale ad affermare che le soluzioni dell’equazione n' = an + 1, con a ≥ 1 rappresentante la differenza prima descritta, esprimano numeri di Giuga solo per a = 1.
Ovviamente non è detto che la congettura possa essere confermata ma, sicuramente, ci vorranno parecchi anni per dimostrarne l’eventuale infondatezza presentando un nuovo numero di Giuga con differenza maggiore di 1.
Non si sa inoltre se la sequenza dei numeri di Giuga sia infinita e se esistano dei numeri di Giuga dispari.
Per approfondimenti: [AG], [GO1], [GO2], [KBC], [BL4].
1 Per le proprietà dell’equazioni modulari vedi, per esempio, l’appendice a [BL4])
13.I problemi del Caffè Scozzese (Un’approssimazione negli spazi di Banach)
Per gli ucraini è Lviv, per i russi e i polacchi Lwow o L’vov, per i tedeschi Lemberg e per noi italiani è Leopoli, dal latino Leopolis che significa la “città del leone...
