Matemáticas básicas con trigonometría 2 Edición

Ismael Gutiérrez García, Jorge Robinson Evilla

• Publisher: Universidad del Norte
• Year: 2012
• ISBN:
  9789587419313
• Topic: Matemáticas
• Subtopic: Trigonometría

En esta obra, diseñada especialmente para estudiantes de los primeros semestres de Ingenierías, se destacan claramente tres ejes temáticos: los números reales como un cuerpo ordenado, las funciones reales de variable real y los primeros elementos de la trigonometría plana. El propósito de este texto es que los estudiantes tengan la posibilidad de profundizar en algunos conceptos que no son habitualmente incluidos en los cursos regulares de Álgebra y Trigonometría, pero que muchas veces resultan necesarios e interesantes. Además, los autores plantean un recorrido formal y claro por las principales líneas del pensamiento matemático.

Parte I

Los Fundamentos

Capítulo 1

Los números reales

Contenido

1.1. Introducción

1.2. Los axiomas de cuerpo

1.3. Los axiomas de orden

1.4. El principio de buen orden

1.5. Números enteros y racionales

1.6. El axioma del extremo superior

1.7. El valor absoluto: propiedades

En este primer capítulo presentamos los fundamentos del curso. Para lograrlo estudiaremos en primer lugar la estructura de cuerpo ordenado de los números reales, además presentaremos las consecuencias más importantes de los axiomas asumidos.

1.1. Introducción

Existen múltiples formas para introducir el conjunto de los número reales. Una muy usual es postular la existencia del conjunto de los números naturales ℕ = {l, 2, 3, ...} y construir ampliaciones sucesivas de éste, pasando por los enteros, los racionales y los irracionales hasta llegar a los número reales. Esta opción por lo general carece de rigurosidad.

Nuestra propuesta metodológica con respecto al conjunto de los números reales no es constructiva, por el contrario, adoptaremos una descripción axiomática de éste. El método que utilizaremos es de tipo deductivo, es decir, se asume la noción de número real como concepto primitivo. Una vez aceptada la existencia de un conjunto cuyos elementos son los números reales, dotado con dos operaciones binarias, suma y multiplicación, el siguiente paso es aceptar un conjunto de axiomas o postulados, que describen entre otras las propiedades de las operaciones y con base en éstos deduciremos o demostraremos propiedades de los números reales.

Cuando usamos el término primitivo, queremos indicar que la naturaleza de los elementos del conjunto de los números reales (notado con ℝ) no jugará un papel central en el desarrollo de la teoría; lo importante será las propiedades que podamos deducir a partir de los postulados. Los axiomas que vamos a considerar estarán clasificados en tres grupos: los axiomas de cuerpo, los cuales hacen referencia a la componente algebraica del conjunto ℝ. Los axiomas de orden nos permitirán comparar dos números real...