Introducción a la estadística matemática

Humberto Llinás Solano

• Publisher: Universidad del Norte
• Year: 2018
• ISBN:
  9789587419221
• Edition: 1
• Topic: Mathematics
• Subtopic: Probability & Statistics
• Index: Mathematics

Este manual fue desarrollado a partir de las notas de clases de la asignatura Estadística Matemática, impartida por el autor en los programas de postgrados de Estadística e Ingeniería de la Universidad del Norte (Colombia). Consta de cinco capítulos: Preliminares, Distribuciones muestrales, Estimación, Intervalos de confianza y Pruebas de hipótesis; al final de cada capítulo se presenta una serie de ejercicios que permitirán a los estudiantes afianzar sus destrezas frente a los temas tratados.

CAPÍTULO 1

Preliminares

1.1 Algunas distribuciones de probabilidad

Je reviens actuellement au cas où les chances p et q de deux événements E et F sont constantes, et je vais considérer la probabilité que dans un nombre μ on m + n d’épreuves, E arrivera au moins m fois et F au plus n fois. Cette probabilité ... la désignant par P ... Je suppose que q soit une très petite fraction, ou que ce soit l’événement F qui ait une très faible probabilité. Dans¹ une très grand nombre μ d’épreuves, le rapport

du nombre de fois que F arrivera à ce nombre μ sera aussi une très petite fraction; ... faisant qμ = ω,

... par conséquent, ...

, pour la probabilité qu’un événement dont la chance à chaque épreuve est la fraction très petite

, arrivera pas plus de n fois dans un très grand nombre μ d’épreuves. (POISSON [80, págs. 189,206])

1.1.1 Distribuciones especiales

1. Distribuciones especiales discretas:

Uniforme discreta, de Bernoulli, binomial, de Poisson, hipergeométrica, binomial negativa, geométrica, de Polya, multinomial, etc.

2. Distribuciones especiales continuas:

Uniforme continua, normal, gamma, exponencial, t de Student, chicuadrada, F de Fisher, Cauchy, Beta, de Laplace, Log-normal, de Rayleigh, Weibull, de Maxwell, del valor extremo, etc.

En las tablas 7 y 8 del apéndice se presenta un resumen detallado de las distribuciones discretas y continuas, respectivamente, más importantes. De todas formas, presentamos algunas de las distribuciones discretas y continuas más relevantes². Por ejemplo, una de las distribuciones discretas más importantes es la binomial.

Definición 1.1.1 Una variable aleatoria X tiene distribución binomial con parámetros n y p, en símbolos

, si su función de probabildiad es

Ejemplo 1.1.2 Una moneda no falsa es lanzada 10 veces. Consideraremos el evento “cara” como un éxito y “sello” como un fracaso. Es claro que p = 0.5, n = 10 y las condiciones básicas que caracterizan a la distribución binomial se satisfacen; por consiguiente,

• La probabilidad de tener éxito exactamente 7 veces es P (X = 7) ≈ 0.1172.

• La probabilidad de tener por lo menos 7 éxitos es P (X ≥ 7) ≈ 0.171875.

• La probabilidad de tener a lo más 7 éxitos es P (X ≤ 7) ≈ 0, 945313.

• La probabilidad de ningún éxito es P (X = 0) ≈ 0.0009766.

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Cuan...