Conjuntos y números

Alonso Castillo Pérez, Alonso Castillo Ramírez, Elba Lilia de la Cruz García, Alfonso Manuel Hernández Magdaleno

• Publisher: Editorial Universidad de Guadalajara
• Year: 2020
• ISBN:
  9786077420910
• Edition: 1
• Topic: Matemáticas
• Subtopic: Matemáticas general

Libro de texto para la Licenciatura en Matemáticas. Contiene un prefacio sobre el lenguaje matemático moderno, y cinco capítulos en los que se desarrollan los temas: lógica básica, conjuntos, relaciones, números, y estructuras algebraicas.

¡Por el contrario! Si hubiese sido así, entonces lo sería; y siéndolo, quizá lo fuera; pero como no fue así, tampoco lo es asá. ¡Es lógico!

Lewis Carroll, Alicia en el País de las Maravillas

Capítulo 1. Lógica básica

Durante muchos siglos, la lógica fue una rama de la filosofía dedicada al estudio del razonamiento. Aristóteles, el filósofo de la antigua Grecia, escribió el primer tratado de lógica conocido actualmente; sin embargo, la lógica comenzó a aplicarse en matemáticas hace apenas cien años con el objetivo de establecer sólidamente los fundamentos de la aritmética, la geometría y el análisis.

Irónicamente, este capítulo es el más intuitivo e informal del texto. La lógica matemática es un tema complejo y sutil; en las próximas secciones sólo abordaremos algunos de sus temas más importantes.¹ El concepto central de este capítulo, que presentamos en la sección 1.1, es el de proposición. La teoría de proposiciones tiene dos ramas: la sintaxis, que se ocupa de su estructura y composición; y la semántica, que se ocupa de su interpretación y la construcción de argumentos. Algunos conceptos relacionados con la sintaxis son los cuantificadores y los conectivos, que estudiamos en las secciones 1.2 y 1.3; profundizamos en la semántica de las proposiciones en la sección 1.4.

1.1 Proposiciones

Recordemos que en la gramática del español la unidad mínima de lenguaje para manifestar una idea, con su significado completo, es la oración, la cual se forma con la estructura

sujeto + predicado.

Cada parte de la estructura de una oración se construye combinando diversos términos. Las oraciones se dividen en las siguientes clases: declarativas, imperativas, exclamativas e interrogativas. Cuando se expresa una idea completa en una oración, cuyo predicado afirma o niega algún atributo del sujeto, se obtiene una oración declarativa. Esta clase de oraciones son las que abordamos en nuestro estudio de la lógica matemática.

Ejemplo 1.1. Consideremos los siguientes ejemplos:

1) ¿Fue resuelta la ecuación por Erika?. Esta no es una oración declarativa sino interrogativa.

2) Javier, apresúrese con ese problema. Esta no es una oración declarativa sino imperativa.

3) La raíz cuadrada de 5 es menor que π. Esta es una oración declarativa.

4) Los lados de un triángulo no son congruentes. Esta es una oración declarativa.

5) La geometría de Riemann es una rama de las matemáticas muy interesante. Esta es una oración declarativa.

6) El promedio de x₁, x₂, · · ·, x_N ∈

es

Esta es una oración declarativa.

Cada una de las oraciones anteriores se da en un contexto implícito que determina la naturaleza de los términos involucrados. Por ejemplo, la oración 3) se da en el contexto de la aritmética de los números reales, mientras que la oración 4) se da en el contexto de la geometría euclidiana. Llamaremos a este contexto el universo de discurso de la oración.

Ahora podemos precisar la noción de proposición.

Definición 1.2 (proposición). Una proposición es una oración declarativa, la cual, en un universo de discurso dado, puede caracterizarse como verdadera o falsa, pero no puede tener ambos atributos.

En el ejemplo 1.1, sólo las oraciones 3) y 6) son proposiciones. Las oraciones 1) y 2) no son proposiciones porque no son declarativas. La oración 4) no es una proposición ya que, al no precisar el triángulo al que se hace referencia, no es posible caracterizarla como verdadera o falsa (es verdadera para algunos triángulos pero falsa para otros). La oración 5) no es una proposición ya que no se ha establecido una definición universal para el término “ser muy interesante”; por lo tanto, es una declaración subjetiva, cuya verdad o falsedad depende de gustos y opiniones.

La característica de verdad o falsedad de una proposición se denomina valor de verdad.

Ejemplo 1.3. Consideremos algunos ejemplos:

1) Dos es un número primo. Esta es una proposición, ya que es una oración declarativa verdadera.

2) El área del círculo es mayor que el área del cuadrado. Esta no es una proposición, ya que no se puede determinar su valor de verdad: puede ser verdadera o falsa dependiendo del círculo y el cuadrado que se consideren.

3) Siempre que x sea un número real, se cumple que −x < 0. Esta es una proposición, ya que es una oración declarativa falsa. La razón de su falsedad recae en el uso de la palabra “siempre”: no es verdad porqu...