L'universo elegante

Superstringhe, dimensioni nascoste e la ricerca della teoria ultima

Brian Greene, Claudio Bartocci, Luigi Civalleri, Claudio Bartocci

• Publisher: EINAUDI
• Year: 2018
• ISBN:
  9788858427323
• Topic: Sciences physiques
• Subtopic: Physique

Tutto quanto di meraviglioso avviene nell'universo è il risultato delle vibrazioni di singole unità, ultramicroscopiche stringhe nascoste nella profondità della materia. I "modi di vibrazione", le "note" intonate da queste stringhe, determinano la costituzione intima della materia, come corde di violino che eseguono una sinfonia cosmica ordinata e armoniosa. In questo libro, Brian Greene ci narra la storia di una straordinaria avventura, parlandone da protagonista e trasmettendoci tutto l'entusiasmo della scoperta scientifica. La rivoluzionaria visione dell'universo che emerge dal suo racconto prevede dimensioni nascoste e arrotolate nelle pieghe dello spazio, buchi neri che si trasformano in particelle elementari, discontinuità nella tessitura dello spaziotempo e universi che generano altri universi. Attraverso l'uso sapiente di analogie e metafore affascinanti, L'universo elegante descrive con intelligenza e vivacità le scoperte esaltanti e i misteri ancora insoluti dell'universo e rende immediatamente accessibili alcuni dei piú complessi e sofisticati concetti della fisica contemporanea.

Parte quarta

La teoria delle stringhe e la costruzione dello spaziotempo

Capitolo decimo

La geometria quantica

Nel corso di appena una decina d’anni Einstein, con le sue sole forze, riuscí a demolire il paradigma newtoniano, vecchio di secoli, proponendo una spiegazione della gravità radicalmente nuova e ben piú profonda. Esperti e profani sono tutti prontissimi a cadere in deliquio di fronte all’assoluta genialità e alla sovrumana originalità dell’impresa compiuta da Einstein nel creare la relatività generale. Non si dovrebbero tuttavia perdere di vista le favorevoli circostanze storiche che contribuirono in modo determinante al successo di Einstein. La piú importante di queste è costituita dalle scoperte matematiche di Georg Bernhard Riemann, che definirono su solide basi il formalismo geometrico per descrivere spazi curvi di dimensione arbitraria. Nella famosa lezione inaugurale tenuta all’Università di Gottinga nel 1854, Riemann infranse la concezione euclidea dello spazio piatto e spianò il cammino a una teoria matematica che democraticamente studi la geometria di qualsiasi tipo di «superfici» curve. Sono le scoperte di Riemann che forniscono gli strumenti matematici per analizzare in modo quantitativo spazi non euclidei come quelli illustrati nelle figure 3.4 e 3.6. Fu merito del genio di Einstein riconoscere che quell’armamentario matematico era fatto su misura per formalizzare la sua nuova concezione della forza gravitazionale. La geometria di Riemann – dichiarò Einstein audacemente – è in accordo perfetto con la fisica della gravità.

Oggi, quasi un secolo dopo il tour de force di Einstein, la teoria delle stringhe ci fornisce una descrizione quantistica della gravità che, per forza di cose, modifica la relatività generale quando le distanze in gioco diventano dello stesso ordine della scala di Planck. Dato che la geometria riemanniana è il nocciolo matematico della relatività generale, ciò significa che anch’essa deve essere modificata per poter rispecchiare in modo adeguato la nuova fisica delle piccolissime distanze, tipica della teoria delle stringhe. Mentre la relatività generale asserisce che le proprietà di curvatura dell’universo sono descritte dalla geometria riemanniana, secondo la teoria delle stringhe ciò è vero soltanto se si esamina la struttura dell’universo a scale sufficientemente grandi. A scale piccole quanto la lunghezza di Planck deve manifestarsi una geometria completamente nuova, che sia in accordo con la nuova fisica della teoria delle stringhe. Questo nuovo paradigma geometrico prende il nome di geometria quantica.

A differenza di quel che accade per la geometria riemanniana, non esiste alcun trattato geometrico già bell’e pronto, sepolto magari in qualche scaffale di matematica, che i teorici delle stringhe possano consultare per la geometria quantica. Al contrario, fisici e matematici sono oggi strenuamente impegnati nello studio della teoria delle stringhe e, tassello dopo tassello, stanno mettendo insieme un settore del tutto nuovo della fisica e della matematica. Sebbene ci sia ancora molta strada da percorrere, queste ricerche hanno già messo in luce molte nuove proprietà dello spaziotempo, che sono diretta conseguenza della teoria delle stringhe – proprietà che lo stesso Einstein avrebbe quasi certamente trovato eccitanti.

L’essenza della geometria riemanniana.

Se saltate su un tappeto elastico, il peso del vostro corpo, stirando le sue fibre elastiche, lo farà deformare. Questo stiramento è maggiore proprio sotto i vostri piedi e diventa quasi trascurabile verso il bordo del tappeto. Potete apprezzare chiaramente questo effetto dipingendo sul tappeto elastico un’immagine facilmente riconoscibile, per esempio quella della Gioconda. Se nessun peso è presente, la Gioconda ha il suo aspetto normale. Ma quando salite sul tappeto elastico, ecco che l’immagine della Gioconda si distorce, soprattutto nella regione che sta sotto i vostri piedi, come si vede nella figura 10.1.

Figura 10.1.

Quando state in piedi sul tappeto elastico, l’immagine della Gioconda subisce la distorsione maggiore proprio sotto di voi.

Questo esempio mette in luce il nocciolo della strategia matematica adottata da Riemann per descrivere spazi non piatti. Basandosi su precedenti intuizioni di matematici come Cari Friedrich Gauss, Nikolaj Lobačevskij, Janos Bolyai e altri, Riemann mostrò che un’accurata analisi delle distanze fra tutti i punti di un dato oggetto geometrico fornisce un modo per quantificare la sua curvatura. In parole povere, quanto maggiore (e non uniforme) è lo stiramento – cioè, quanto maggiore è la deviazione dalle relazioni metriche che si misurano in uno spazio piatto – tanto maggiore è la curvatura dell’oggetto geometrico. Lo stiramento del tappeto elastico, ad esempio, è molto piú considerevole sotto i vostri piedi che altrove e perciò le relazioni metriche fra i punti di questa regione sono quelle che risultano maggiormente alterate. Questa zona del tappeto elastico ha dunque la curvatura piú accentuata, in accordo con quanto ci si poteva aspettare, dato che proprio qui l’immagine della Gioconda subisce la distorsione maggiore, tanto che l’ombra di una smorfia affiora all’angolo del suo sorriso immancabilmente enigmatico.

Einstein diede alle scoperte matematiche di Riemann una ben precisa interpretazione fisica, mostrando, come abbiamo visto nel capitolo III, che la curvatura dello spaziotempo rappresenta la forza gravitazionale. Analizziamo ora piú attentamente questa interpretazione. Matematicamente, la curvatura dello spaziotempo – proprio come la curvatura del tappeto elastico – rispecchia la distorsione delle relazioni metriche fra i suoi punti. Fisicamente, la forza gravitazionale che agisce su un oggetto è il riflesso diretto di tale distorsione. Immaginando di rendere l’oggetto sempre piú piccolo, la fisica e la matematica concordano con tanta maggior precisione quanto piú vicino si arriva a realizzare fisicamente l’astratto concetto matematico di punto. La teoria delle stringhe, tuttavia, pone un limite invalicabile alla precisione con cui la fisica della gravità può ricalcare il formalismo geometrico di Riemann, dato che esiste un limite oltre il quale non possiamo rendere piú piccolo nessun oggetto: arrivati alle stringhe, dobbiamo per forza di cose fermarci. La nozione tradizionale di particella puntiforme nella teoria delle stringhe non esiste, il che è essenziale affinché da essa sia possibile ottenere una teoria quantistica della gravità. Tutto ciò mostra in termini evidenti che i presupposti della geometria riemanniana, fondata sul concetto di distanza fra punti, a scale ultramicroscopiche vengono sovvertiti dalla teoria delle stringhe.

Si deve dire che tutto ciò ha effetti minimi sulle applicazioni macroscopiche della relatività generale. Nell’elaborare modelli cosmologici, ad esempio, i fisici trattano abitualmente le galassie come se fossero punti, dato che le loro dimensioni, paragonate a quelle dell’intero universo, sono ridottissime. Per tale ragione, anche se usati in questo modo un po’ grossolano, gli strumenti della geometria riemanniana forniscono un’approssimazione molto precisa, come dimostra il successo della relatività generale in ambito cosmologico. Nel mondo ultramicroscopico, tuttavia, il fatto stesso che le stringhe abbiano un’estensione implica che la geometria di Riemann non può essere il formalismo matematico giusto. È dunque necessario, come ora vedremo, sostituirlo con quello della geometria quantica della teoria delle stringhe, che conduce a risultati profondamente nuovi e inattesi.

Lo scenario cosmico.

Secondo il modello cosmologico del big bang, l’intero universo sarebbe scaturito da un’unica esplosione cosmica, avvenuta piú o meno 15 miliardi di anni or sono. Come fu scoperto da Hubble, ancor oggi possiamo osservare come le schegge di questa esplosione – vale a dire molti miliardi di galassie – seguitino ad allontanarsi l’una dall’altra: l’universo si sta espandendo. Non sappiamo se questa espansione continuerà per sempre o se, a un dato momento, rallenterà fino ad arrestarsi del tutto e farà quindi marcia indietro, generando un’implosione cosmica. Gli astronomi e gli astrofisici stanno cercando di risolvere la questione sperimentalmente, dato che la risposta dipende da qualcosa che in termini di principio si può misurare: la densità media di materia nell’universo.

Se la densità media di materia è superiore a una cosiddetta densità critica, pari a circa un centesimo di un miliardesimo di un miliardesimo di un miliardesimo (10^–29) di grammo per centimetro cubo – equivalente a circa cinque atomi di idrogeno ogni metro cubo di universo – allora il cosmo è pervaso da una forza gravitazionale sufficiente ad arrestare l’espansione e a invertirne la direzione. Se invece la densità media di materia è inferiore alla densità critica, l’attrazione gravitazionale è troppo debole per fermare l’espansione cosmica, che continuerà dunque per sempre. (La nostra personale esperienza del mondo ci potrebbe indurre a credere che la densità media di materia sia immensamente superiore al valore critico. Bisogna però tenere presente che la materia – come il denaro – tende ad ammassarsi. Pensare che la densità media di materia della Terra, o del sistema solare, o anche della Via Lattea sia indicativa di quella dell’intero universo sarebbe come considerare il patrimonio di Bill Gates indicativo della ricchezza media dei comuni mortali. Cosí come il patrimonio della maggior parte di noi è insignificante se confrontato con quello di Bill Gates, e contribuisce dunque ad abbassare enormemente la media, nell’universo le galassie sono separate da regioni di spazio pressoché vuoto, che fanno sí che la media complessiva della densità di materia sia drasticamente inferiore).

Studiando accuratamente la distribuzione delle galassie nello spazio cosmico, gli astronomi si sono fatti un’idea piuttosto precisa di quale sia la quantità media di materia visibile nell’universo, che risulta notevolmente inferiore al valore critico. Sussistono però numerose evidenze sperimentali e stringenti ragioni teoriche che depongono in favore dell’ipotesi secondo cui l’universo è pervaso di materia oscura. Si tratta di una materia che non interviene nei processi di fusione nucleare che riforniscono di energia le stelle e, perciò, non emette luce, rimanendo cosí invisibile ai telescopi degli astronomi. Nessuno è ancora riuscito a capire quale sia l’esatta natura della materia oscura, né tantomeno a calcolarne con precisione la quantità esistente. Il destino del nostro universo resta dunque un enigma.

Supponiamo ora – è solo un’ipotesi – che la densità di materia superi il valore critico: di conseguenza, nel lontano futuro arriverà il giorno in cui l’espansione si arresterà e l’universo comincerà a collassare su se stesso. Tutte le galassie inizieranno ad avvicinarsi l’una all’altra, dapprima con grande lentezza, poi sempre piú rapidamente, fino a raggiungere tutte quante una velocità sbalorditiva. Dovreste cercare di immaginarvi l’intero universo che si comprime in una massa cosmica che continua a contrarsi sempre di piú. Secondo una sequenza inversa a quella illustrata nel capitolo III, dalle sue dimensioni massime di molti miliardi di anni luce, l’universo si rimpicciolirà fino ad arrivare a quelle di appena qualche milione di anni luce, acquistando istante dopo istante sempre maggiore velocità e comprimendo ogni cosa in un ammasso delle dimensioni di una singola galassia, poi di una singola stella, di un pianeta, di un’arancia, di un pisello, di un granello di sabbia, e ancora continuerà a contrarsi, in accordo con le leggi della relatività generale, arrivando alle dimensioni di una molecola, di un atomo, e finendo, in un inesorabile big crunch cosmico, con l’essere del tutto privo di dimensione. Questo sostiene la teoria tradizionale: l’universo ebbe origine con un big bang a partire da uno stato di dimensione zero e, se la sua densità di massa è abbastanza elevata, avrà termine con un big crunch, che lo riporterà in un analogo stato finale di compressione cosmica definitiva.

Ma quando le distanze divengono dell’ordine della lunghezza di Planck, o addirittura inferiori, abbiamo ormai imparato che la meccanica quantistica toglie ogni valore alle equazioni della relatività generale: dobbiamo far ricorso alla teoria delle stringhe. È quindi naturale porsi la seguente domanda: se nella relatività generale di Einstein nulla vieta che la forma geometrica dell’universo possa diventare arbitrariamente piccola – proprio come in geometria riemanniana ogni spazio astratto può assumere le piú piccole dimensioni immaginabili – in che modo cambiano invece le cose nella teoria delle stringhe?

Come vedremo fra poco, anche in questo caso la teoria delle stringhe fissa un limite inferiore all’ordine di grandezza delle distanze fisicamente accessibili e stabilisce, in modo nuovo e originale, che nessuna delle dimensioni spaziali dell’universo può mai contrarsi fino a diventare piú corta della lunghezza di Planck.

Con la familiarità che abbiamo ormai acquisito con la teoria delle stringhe potremmo quasi essere tentati di azzardare una possibile risposta che spieghi come ciò avvenga. In fin dei conti – si può argomentare – per quanti punti si accatastino l’uno sull’altro (intendo, particelle puntiformi) il loro volume complessivo sarà sempre zero. Al contrario, se queste particelle sono vere e proprie stringhe che si ammassano tutte insieme con orientazioni completamente casuali, esse formeranno un minuscolo grumo di volume non nullo, una specie di pallottola delle dimensioni di Planck formata da elastici aggrovigliati. Se avete fatto questo ragionamento, siete sulla strada giusta, ma ancora non avete colto alcune essenziali, seppur sottili caratteristiche della teoria delle stringhe, dalle quali consegue, in modo davvero elegante, che per l’universo esiste una dimensione minima. Queste caratteristiche mettono in luce molto concretamente la novità della fisica delle stringhe e i suoi effetti sulla geometria dello spaziotempo.

Per illustrare questi importanti aspetti prendiamo in esame un esempio che ci permetterà di eliminare molti dettagli non significativi senza pregiudicare la nuova fisica. Invece di considerare tutte le dieci dimensioni spaziotemporali della teoria delle stringhe – e nemmeno le quattro dimensioni estese che tutti conosciamo bene – torniamo al Tubuniverso. Abbiamo introdotto questo universo bidimensionale nel capitolo VIII, in un contesto antecedente alle stringhe, per spiegare alcuni aspetti delle intuizioni, risalenti agli anni venti, di Theodor Kaluza e Oskar Klein. Vogliamo ora usare questo modello come «scenario cosmico» per esplorare le proprietà della teoria delle stringhe in ipotesi semplici: le conclusioni alle quali giungeremo ci saranno utili per comprendere meglio tutte le dieci dimensioni spaziali previste dalla teoria. A questo scopo, supponiamo che la dimensione circolare del Tubuniverso, inizialmente bella pienotta, tenda ad assottigliarsi sempre di piú, avvicinandosi alla forma di Linelandia – una versione semplificata e parziale del big crunch.

La domanda alla quale cercheremo di rispondere è la seguente: il fatto che nell’universo vi siano stringhe oppure particelle puntiformi modifica in maniera significativa le caratteristiche geometriche e fisiche di questo collasso cosmico?

La nuova caratteristica essenziale.

Per scoprire qual è la nuova caratteristica essenziale della fisica delle stringhe non dobbiamo cercare chissà dove. Nel nostro ipotetico universo bidimensionale una particella puntiforme si può muovere soltanto nei modi illustrati nella figura 10.2: o il suo movimento si s...