Funzione e Calcolatore. Ambiti, campi, applicazioni

Finalista Premio Nazionale di Filosofia X Edizione

Rosanna Festa

• Publisher: Youcanprint
• Year: 2022
• ISBN:
  9791221412734
• Topic: Mathematics
• Subtopic: History & Philosophy of Mathematics
• Index: Mathematics

Consideriamo quali esperimenti ci possono aiutare a controllare le ipotesi: "Nel nostro mondo dobbiamo impiegare una certa geometria metrica a raggio di curvatura così e così".

Capitolo terzo

Nel software di sistema il criterio di localizzazione consente nel calcolo computazionale la permutazione, oltre a questa, che calcola numeri con ordinamento crescente, il fattore esponenziale è simile a un registro perché nell'ordine di grandezza individua per dimensione, consentendo al software di calcolare, tramite forme di risoluzione matematica, come bisogna lavorare sui dati in ingresso⁴⁹. Il software di sistema consente di elaborare per gradi e calcola anche i valori medi⁵⁰. La macchina di Turing, prendendo una macchina per l'addizione unaria, prevede lo stesso tipo di registro, e comunque il fattore di successione calcola l'ordine in sottosistemi tramite una sequenza di numeri che prendono in considerazione gli stati risolvendo il problema in tempi brevi. Il software di sistema è dotato di due interfacce, che comunicano con l'hardware, e la struttura interna consente di calcolare tramite l'aritmetica degli spazi per la formattazione⁵¹. L'interazione consente di acquisire risorse in disposizione spaziale⁵². Anche in fisica le disposizioni spaziali consistono di determinare criteri di equivalenza. Le differenze tra la relatività ristretta e la relatività generale, tra gli altri, consistono nelle assunzioni circa la relatività ristretta di validità per i sistemi inerziali, e solo per questi, invece in quella generale lo schema della prima è ampliato fino a tenere conto della gravità, ossia dell'attrazione reciproca di tutti i corpi dotati di massa; la relatività ristretta usa la matematica di Lorentz, quella generale usa il calcolo tensoriale di Gregorio Ricci-Curbastro e Tullio Levi-Civita e il sistema matematico per la gravitazione elaborato da Hilbert. Questi non prevedono dei sistemi fisici se si calcola che un sistema può essere dipendente da un altro sistema, però sono dei sistemi lineari, perciò bisogna calcolarne le transizioni come nella geometria di Riemann⁵³. Nel Novecento si afferma la necessità di una nuova fisica, e dunque una nuova matematica e una nuova geometria. Questa crisi dei fondamenti scientifici, nella seconda metà del Novecento, si è concentrata intorno a due concetti suggestivi, quello di caos e complessità⁵⁴. Ci si chiede, allora, se la meccanica ondulatoria ci può fornire dati aggiuntivi provenienti o non dalla meccanica delle matrici. Se ci sono informazioni ulteriori, esistono elevate indicazioni circa una complessità in fisica. I sistemi di equazioni che descrivono delle equazioni indefinite consentono comunque la trattazione matematica⁵⁵. Essa fa parte di un programma scientifico, e quindi conferma la validità del piano scientifico. “Qui ci si riferisce a quale ambito di indagine divenga oggetto del programma scientifico galileiano e newtoniano. Entrambi gli scienziati intendono spiegare gli stessi fenomeni fisici e astronomici: Galileo aveva già intuito il primo principio che Newton pone a fondamento della fisica moderna (della dinamica) e aveva già formulato il secondo dei tre principi della dinamica. Un altro punto di contatto tra i due programmi scientifici è la critica di quei sistemi ipotetico-deduttivi che non si basino su un rigoroso riscontro con l'esperienza; per Galileo ciò risponde alla critica dell'aristotelismo, per Newton alla critica della fisica cartesiana”. Il piano metodologico, che include una procedura analitica, quindi induttiva, e quella sintetica, e dunque ipotetico-deduttiva, per la comprensione delle leggi generali, di tipo matematico, viene posto su un piano costruttivista, soprattutto per i seguenti punti nella fisica moderna:

• la relatività ristretta usa la geometria lineare rielaborata da Minkowski, la relatività generale usa quella dello spazio tempo curvo di Riemann

• la relatività ristretta è confermata da innumerevoli esperimenti, mentre quella generale non è confermata in modo definitivo. Tuttavia essa è la teoria maggiormente adottata nella descrizione dell'universo in quanto coerente dal punto di vista della sintassi logico-matematica con cui è costruita ed elegante da un punto di vista estetico.

È necessario quindi utilizzare un linguaggio osservativo⁵⁶. La domanda su ipotesi circa la meccanica ondulatoria è un problema di come le relazioni si sovrappongono sulla frequenza e sulla lunghezza d'onda. In particolare, se il sistema descritto dalla meccanica quantistica è un sistema fisico, ci deve permettere di calcolarne le relazioni ab+c oppure a+b+c. La sintassi di teorie come quella di Maxwell sull'elettromagnetismo e quella di Einstein sul sistema di equazioni che descrivono le variazioni del campo gravitazionale nello spazio e nel tempo, oltre a utilizzare un linguaggio matematico, descrivono la geometria in corrispondenza dell'identità della materia con l'estensione indefinita⁵⁷, il che è diverso dal proposito di Cartesio, cioè quello di definire la geometria in termini di estensione e la divisibilità all'infinito della materia, qui la materia è estesa perché esistono proprietà come la curvatura o nuove geometrie⁵⁸ che hanno principi simili a quelli della meccanica analitica⁵⁹.

È chiaro che è inutile dare i limiti dell'intervallo a meno che a loro volta questi limiti non possano essere definiti con un grado di precisione che supera largamente quello che possiamo aspettarci di ottenere per la misurazione originale; a meno, cioè, che non possano essere definiti entro i loro propri intervalli d'imprecisione, che dovrebbero perciò essere più piccoli, d diversi ordini di grandezza, dell'intervallo che determinano per il valore della misurazione originale. In altre parole, i confini dell'intervallo non sono confini rigorosi ma sono, in realtà, intervalli molto piccoli, i cui confini, a loro volta, sono intervalli ancor più piccoli, e così via. In questo modo arriviamo all'idea di quelli che possono essere chiamati i “limiti non rigorosi”, o “limiti di condensazione” dell'intervallo. Queste considerazioni non presuppongono la teoria matematica dell'errore, né la teoria della probabilità. Si tratta, piuttosto, del contrario: analizzando l'idea di un intervallo di misurazione esse forniscono un sottofondo senza il quale la teoria statistica dell'errore avrebbe ben poco senso. Se misuriamo molte volte una grandezza otteniamo valori che sono distribuiti con densità differenti su un intervallo, l'intervallo di precisione dipendendo dalla tecnica di misurazione che si usa. Soltanto se sappiamo che cosa stiamo cercando, cioè i limiti di condensazione dell'intervallo, possiamo applicare a questi valori la teoria dell'errore, e determinare i limiti dell'intervallo. Ora, penso che tutto ciò getti un po' di luce sulla superiorità dei metodi che impiegano misurazioni sopra i metodi puramente quantitativi. È vero che pure nel caso di stime qualitative, come la stima dell'intensità di un determinato suono musicale, può essere possibile qualche volta dare un intervallo di accuratezza delle stime. Ma, se mancano le misurazioni, qualunque intervallo di questo genere non può che essere vago, perché in questo caso non è possibile applicare i concetti di limiti di condensazione.

Uno dei punti che hanno avuto parte preponderante nella maggior parte delle discussioni sulla teoria della relatività è stata la semplicità della geometria euclidea. Nessuno ha mai dubitato che la geometria euclidea come tale sia più semplice di qualsiasi geometria non-euclidea a curvatura costante data, per non menzionare le geometrie non euclidee a curvature varianti da luogo a luogo. A prima vista il tipo di semplicità indicato qui sembra aver poco da fare con i gradi di falsificabilità: ma le asserzioni in discussione vengono formulate come ipotesi empiriche, troviamo che i due concetti, semplicità e falsificabilità, coincidono anche in questo caso. Consideriamo quali esperimenti ci possono aiutare a controllare le ipotesi: “Nel nostro mondo dobbiamo impiegare una certa geometria metrica a raggio di curvatura così e così”. Un controllo è possibile solo se si identificano certe curve geometriche con certi oggetti fisici; ad esempio, linee rette, con raggi, o punti con intersezioni di fili. Adottando un'identificazione di questo genere (una definizione che metta in relazione le due classi di enti o, forse, una definizione ostensiva) si può mostrare che l'ipotesi della validità di una geometria euclidea dei raggi di luce ha un grado di falsificabilità superiore a quello di qualunque altra ipotesi contraria che asserisca la validità di qualche geometria non-euclidea. Infatti, se misuriamo la somma degli angoli di un triangolo i cui lati siano costituiti da raggi luminosi, ogni deviazione significante da 180° falsificherà l'ipotesi euclidea, mentre, d'altra parte, l'ipotesi di una geometria di Bolyai-Lobacevskij a curvatura data, sarebbe compatibile con qualsiasi misurazione particolare che non superasse i 180°.

I valori ammissibili delle “incognite”(o variabili) che compaiono in un sistema di equazioni sono determinati, in un modo o nell'altro, dal sistema stesso. Anche se non è sufficiente a fornire una soluzione unica, il sistema di equazioni non permette che alle “incognite” (variabili) si sostiuisca ogni combinazione concepibile di valori. Piuttosto, il sistema di equazioni caratterizza certe combinazioni di valori, o sistemi di valori come ammissibili, mentre ne caratterizza altri come inammissibili; distingue la classe di sistemi di valori ammissibili dalla classe di sistemi di valori inammissibili. In modo analogo, i sistemi di concetti possono essere distinti in ammissibili e inammissibili mediante quella che si potrebbe chiamare un'”equazione assertoria”. Un'equazione assertoria si ottiene da una funzione proposizionale, o funzione assertoria cioè, da un'asserzione incompleta in cui compaiono uno o più “posti vuoti”. Due esempi di tali funzioni proposizionali o funzioni assertorie, sono: “Un isotopo dell'elemento x ha peso atomico 65”; o “x+y=12”. Tutte queste funzioni assertorie si trasformano in un'asserzione sostituendo certi valori ai loro posti vuoti, x e y. L'asserzione che ne risulta sarà vera o falsa secondo i valori (o le combinazioni di valori) sostituiti. Così, nel primo esempio, sostituendo ad “x” le parole “rame” o “zinco” si ottiene un'asserzione vera, mentre altre sostituzioni danno luogo ad asserzioni false. Ora, se decidiamo, rispetto a qualche funzione assertoria, di ammettere soltanto quei valori che in seguito a sostituzione trasformano questa funzione in un'asserzione vera, otteniamo ciò che chiamo un'”equazione assertoria”. Per mezzo di questa “equazione assertoria” si definisce una classe ben determinata di sistemi di valori ammissibili, e precisamente la classe di quei sistemi di valori che la soddisfano. L'analogia con un'equazione matematica è chiara. Interpretandolo non come una funzione assertoria, ma come un'equazione assertoria, il nostro secondo esempio diventa un'equazione nel senso ordinario (matematico) del termine. Siccome le sue idee fondamentali indefinite, o termini primitivi, possono essere considerati come posti vuoti, un sistema d'assiomi può, tanto per cominciare, essere trattato come un sistema di funzioni assertorie. Ma se decidiamo che possano essere sostituiti soltanto quei sistemi, o combinazioni, di valori che lo soddisferanno, allora diventa un sistema di equazioni assertorie. Come tale definisce implicitamente una classe di sistemi (ammissibili) di concetti. Ogni sistema di concetti che soddisfi un sistema di assiomi può essere chiamato un modello di quel sistema di assiomi.

Tentando di dimostrare le strutture algebriche⁶⁰, l'intuizionismo discute di significati circa le entità matematiche in cui bisogna ricercare la fondatezza di serie continue e soprattutto provare se essi sono entità finite. Allora, tra le dimostrazioni assolute della consistenza nella matematica, che riprende il programma formalista di Hilbert, bisogna provare algoritmicamente la consistenza dell'aritmetica dall'interno dell'aritmetica stessa, usandola cioè autoreferenzialmente, senza cadere in contraddizione. “Per gli intuizionisti dire che AvB equivale a dire che è possibile provare A oppure è possibile provare B. In particolare il principio del terzo escluso, Av-A, è rifiutato dall'intuizionismo poiché l'assunzione che è sempre possibile provare A o la sua negazione -A non è giustificata”. Così la logica consiste nel nell'assunzione di una qualche validità circa la proprietà di un numero razionale. Nella teoria degli insiemi è possibile trovare funzioni ovunque definite, e quindi gli algoritmi finiti devono essere per così dire “compilati”, in un'attività molto simile alla compilazione automatica per i calcolatori analogici. Dall'altra parte, vale anche la regola di usare l'aritmetica formale, estesa ai reali, come metalinguaggio per provare algoritmicamente la consistenza delle altre teorie matematiche⁶¹. D'altra parte, la logica formale permette di esemplificare le relazioni a partire dagli assiomi stessi, e quindi bisogna usare a priori l'aritmetica formale, estesa ai reali, come metalinguaggio per provare algoritmicamente la consistenza delle altre teorie matematiche. L'intuizionismo rifiuta anche l'astrazione dell'infinito attuale; per esempio non considera come oggetti dati quelli che hanno proprietà di coesistenza, come un'algebra della logica relazionale, e quindi non considera l'insieme di tutti i numeri naturali o una sequenza arbitraria di numeri razionali. Questo fa parte, però, dell'aritmetica formale, mentre la ricostruzione di gran parte della teoria degli insiemi deve essere provata, o almeno in parte, facendo coesistere gli elementi principali come relazioni e quantificatori.

L'applicazione alla dimostrazione indiretta della consistenza degli assiomi della geometria costruendo un modello sintattico di essa definito sui numeri reali vengono dimostrati a priori quando:

• In tale modello, tutti gli assiomi della geometria piana divengono proposizioni riguardanti i numeri reali, cioè equazioni o sistemi di equazioni che sono dimostrabili algebricamente

• così però non si è dimostrato che tali assiomi sono assolutamente veri, bensì semplicemente che sono dimostrabili nella teoria dei numeri reali. La verità (consistenza) di questi assiomi e dei teoremi da essi derivabili è così una verità solo relativa

• supposta la non contraddittorietà della teoria dei numeri reali, allora sono non contraddittorie anche tutte le proposizioni isomorfe (corrispondenti biunivocamente) a proposizioni costruite su n-uple (coppie, terne, ecc.) di numeri reali e sulle loro relazioni, come per esempio gli assiomi della geometria

• si noti la differenza con Riemann: egli aveva costruito un modello semantico della geometria non-euclidea in una geometria euclidea dello spazio curvo. Hilbert costruisce a sua volta un modello sintattico della geometria euclidea nella teoria dei numeri reali (algebrici), che prescinde dal riferimento ai numeri in quanto tali, bensì afferma solo la corrispondenza fra strutture algebriche di questi numeri e strutture geometriche.

L'aritmetica formale quindi si estende alle definizioni di numero e ai metodi che estendono a loro volta la definizione di stringa del numero, a rappresentazioni sintetiche delle equazioni algebriche. Altri metodi di elaborazione utilizzano il calcolo dei predicati, l'intuizionismo, il formalismo e la rappresentazione delle strutture algebriche, oltre alla logica formale. Esempi di rappresentazioni delle strutture algebriche e quindi di modelli numerabili e di consistenza sono:

- la costruzione degli elementi di consistenza del numero, così come “figura”, “funzione”, “continuo”, a partire dalla nozione elementare di insieme, usando metodi finitari (ricorsivi) di dimostrazione della consistenza di tali nozioni.

- Definizione costruttiva della nozione di insieme come sottoinsieme del suo insieme-potenza

- Trattabilità attuale degli stessi insiemi infiniti, cioè la dimostrazione dell'equipotenza dell'insieme dei numeri razionali Q, dei naturali N, dei relativi Z, tutti con la medesima potenza del numerabile (= possono essere messi in corrispondenza biunivoca con N), simbolizzata con N0, in consistenza di ciò l'insieme di tutti i numerabili è numerabile.

- dimostrazione della non numerabilità dell'insieme dei numeri reali e quindi della non-costruibilità del continuo matematico.

• Ipotesi del continuo: come insieme di potenza immediatamente successiva al numerabile con cardinalità 2nº.

La riduzione teorica⁶² si svolge attraverso il problema di come provare la coerenza dei sistemi assiomatici, una volta che non si suppone più la verità dei postulati.

Riemann tentò una dimostrazione della consistenza della sua geometria non-euclidea ellittica costruendone un modello euclideo come geometria dello spazio curvo. Se è coerente la geometria euclidea sono coerenti anche le geometrie non-euclidee, per cui si ottiene una dimostrazione non-finitaria che fa appello di nuovo all'evidenza.

Sebbene questa dimostrazione servì molto alla diffusione delle nuove teorie perché le rese di facile fruibilità almeno intuitiva, essa era gravemente insufficiente perché faceva appello all'evidenza nella quale si era persa fiducia.

La rivoluzione concettuale della nuova matematica assiomatica comporta la necessità di una teoria dei fondamenti delle matematiche.

L'assiomatizzazione della geometria euclidea (Fondamenti della geometria, 1889) presuppone l'indipendenza della geometria pura dai numeri, mostrando che tutta la geometria piana (euclidea) può essere rappresentata come una particolare, astratta struttura algebrica detta campo commutativo.

La teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZF), la teoria degli insiemi di von Neumann-Godel-Bernays (NGB), la teoria degli insiemi generici di P. J. Cohen (1965), la teoria del forcing sono tutte ipotesi che legano la logica con la matemat...