Quase todas as matrizes complexas são diagonalizáveis: uma abordagem transdisciplinar

Rubens Cardoso

• Publisher: Editora Dialética
• Year: 2023
• Topic: Mathematics
• eBook ISBN:
  9786525263656
• Subtopic: Linear Algebra
• Index: Mathematics

Nos primeiros cursos de Álgebra Linear, são apresentados aos estudantes exemplos de matrizes complexas que não são diagonalizáveis. Nesse contexto, é razoável indagar se a maioria das matrizes complexas são diagonalizáveis. O presente livro se debruça nessa questão. Por meio da Topologia, faz-se uma prova da densidade do conjunto das matrizes complexas diagonalizáveis, utilizando o Teorema da Decomposição de Schur. No contexto da medida e da integral de Lebesgue, prova-se que o conjunto das matrizes complexas não diagonalizáveis tem medida nula. Na perspectiva da Álgebra, por meio da topologia de Zariski, dá-se uma demonstração da densidade do conjunto das matrizes complexas diagonalizáveis, usando somente polinômios. Discutem-se as interdependências entre os resultados obtidos por meio da Topologia, da Medida e da Álgebra. Fazem-se, também, considerações do problema das matrizes triangulares, da diagonalização de matrizes e o das matrizes invertíveis, no contexto dos números reais. Como aplicação da topologia de Zariski, demonstra-se o clássico Teorema de Cayley-Hamilton da Álgebra Linear. Esta obra contém, ainda, um apêndice dos enunciados dos principais resultados para uma construção da medida e da integral de Lebesgue em R^n e, mais geralmente, em espaços de Banach, para atender os anseios de leitores por uma leitura clara e sucinta.

Table of contents

• Capa
• Folha de Rosto
• Créditos
• INTRODUÇÃO
• 1 POLINÔMIOS E MATRIZES
• 2 TOPOLOGIA
• 3 MEDIDA
• 4 ÁLGEBRA
• 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
• APÊNDICE A
• APÊNDICE B
• LISTA DE SÍMBOLOS
• REFERÊNCIAS