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1 Grundlagen
Die folgenden Abschnitte behandeln einige grundlegende Themen, die für das Verständnis der folgenden Kapitel notwendig sind. Hierzu gehört eine kleine Einführung in die Logik und die Grundlagen des Beweisens, gefolgt von einer kurzen Darstellung der Mengenlehre, die unter anderem für den Zahlbegriff notwendig ist. Hieran schließt sich ein Abschnitt über Zahldarstellungen in Digitalrechnern an.
1.1 Mathematische Notation
Nur wenige Wissenschaften sind so eng mit ihrer jeweiligen Notationsform verbunden wie Mathematik, Physik und Chemie. Keines dieser Fächer ist ohne eine über Jahrhunderte hinweg entstandene formalisierte Sprache denkoder gar betreibbar. Gerade diese besondere Form der Notation und auch Ausdrucksweise hat jedoch einen nicht unerheblichen Anteil daran, dass Mathematik von vielen als furchteinflößend und unverständlich angesehen wird – ganz zu Unrecht, wie sich zeigen wird. Ohne die heute verwendete mathematische Notation könnten komplexe Zusammenhänge nicht ansatzweise ausgedrückt werden. Sehr schön zeigt dies folgende Rechenaufgabe aus einem babylonischen Keilschrifttext:2
Länge mit 3 vervielfacht[,] Breite mit 2 vervielfacht[,] addiert quadratisch[,] Fläche [der] Länge addiert und so 4,56,40.
Dieser kleine Text zeichnet sich durch das völlige Fehlen heute gewohnter mathematischer Symbole aus und versucht dennoch eine abstrakte Rechenaufgabe zu beschreiben. In heutiger Notation liest sich die gleiche Aufgabenstellung wie folgt:
Man sieht, um wie vieles einfacher die gleiche Aufgabe mit Hilfe nur einiger weniger spezieller Symbole wie +, = und Potenzbildung formuliert werden kann.3 Bis dahin war es jedoch ein langer und interessant zu verfolgender Weg: JOHANNES WIDMANN4 hielt 1486 in Leipzig die wohl erste Algebra-Vorlesung und verwendete dort zwei spezielle Symbole, die er auch in seinem 1489 publizierten einflussreichen Buch „Behend und hüpsch Rechnung uff allen Kauffmanschafften“ verwendete. Diese beiden in Abbildung 1.1 dargestellten Symbole haben als Plus und Minus weltweite Verwendung gefunden und sind aus dem heutigen Leben nicht mehr wegzudenken.5
Abb. 1.1. Die Verwendung von „+“ und „−“ in (WIDMANN, 1508, S. 59 f.)
Abb. 1.2. Die Einführung des Gleichheitszeichens und die erste bekannte Gleichung, 14x + 15 = 71 (siehe (RECORDE, 1557, S. 236))
WIDMANN machte auch die sogenannten, heute fast völlig vergessenen cossischen Zeichen einem größeren Publikum bekannt, mit denen Potenzen einer Unbekannten ausgedrückt wurden. Der Begriff leitet sich vom italienischen Wort „cosa“ für „Ding“ ab. Heute ist an ihre Stelle meist ein x getreten.6 Eine weitere frühe Schrift, die Plusund Minuszeichen verwendete und ihrer allgemeinen Verwendung den Weg ebnete, war das Buch Ayn new kunstlich Buech welches gar gewiß und behend lernet nach der gemainen regel Detre [. . .]“ von HEINRICH SCHREIBER7.
Eine der zentralen Errungenschaften der mathematischen Notation ist das Gleichheitszeichen, das von ROBERT RECORDE8 im Jahre 1557 eingeführt wurde,9 um auf einen Blick deutlich zu machen, dass zwei Dinge einander gleich sind, nämlich die linke und rechte Seite einer Gleichung. Seine Wahl, zwei parallele Linien für dieses Symbol zu verwenden, ist darauf zurückzuführen, dass, wie er schreibt, nichts gleicher als zwei parallele Linien sein kann.10 Abbildung 1.2 zeigt eine der ersten solcherart notierten Gleichungen. Bei den ungewohnten Symbolen hinter den Konstanten 14, 15 und 71 handelt es sich um sogenannte cossische Zeichen, um die erste und nullte Potenz der Variablen der Gleichung, die selbst nicht explizit notiert ist, darzustellen. Der zugehörige Text liest sich wie folgt:
Howbeit, for easie alteratiõ of equations. I will propunde a fewe e...
