Anregungen zum eigenen Simulieren, Modellieren und Programmieren.
Mit Beispielprogrammen auf der Internetseite dieses Buches.
Mit einer kurzen Einführung zu MATLAB und der Symbolic Math-Toolbox.
Für Lehrende und Lernende der Physik und alle, die Berührungspunkte mit Berechnungsverfahren, Modellierungen oder Simulationen in den Natur- oder Ingenieurswissenschaften haben.
Das Lehrbuch vermittelt, wie durch MATLAB und Simulink physikalische Systeme einfach simuliert und damit besser verstanden werden können. Die verwendeten Modelle stammen aus den Bereichen Theoretische Mechanik, Relativitätstheorie, Elektrodynamik und Quantenmechanik.
Häufig gestellte Fragen
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In diesem Abschnitt werden wir Simulation und numerische Verfahren für klassische, nichtrelativistische Systeme sowie Beispiele aus der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie diskutieren. Beginnen wir mit nicht-relativistischen Systemen und einer kurzen Auflistung relevanter Gleichungen. Für die Ableitungen und detaillierte Diskussion der Gleichungen möchte ich auf die zahlreichen Lehrbücher zur Klassischen Mechanik verweisen, insbesondere auf das Buch von Goldstein [1].
1.1Kurze Übersicht ausgewählter Gleichungen
Ausgangspunkt vieler Überlegungen ist das Newtonschen Grundgesetz: Die zeitliche Änderungen des Impulses
eines Massenpunkts ist durch die auf ihn wirkende Kraft
bestimmt. Daraus folgt die Newtonsche Bewegungsgleichung
mit der Ortskoordinate
, der Geschwindigkeit
und der Zeit t. Jedes System für das die Newtonsche Bewegungsgleichung gilt ist ein Inertialsystem.
Für die Ableitung der Dynamik spielen die Lagrangesche und die Hamiltonsche Beschreibung der klassischen Dynamik eine wichtige Rolle. Sie erlauben es einfacher, dem mechanische System optimal angepasste Koordinatensysteme zu nutzen.
1.1.1Die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen
Die Lagrange-Funktion L ist gegeben durch
mit T der kinetischen und V der potentiellen Energie und folgt dem Hamiltonschen Prinzip
Aus dieser Variationsgleichung lassen sich die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen ableiten:
Dabei bezeichnet
,
den verallgemeinerten Ort und die verallgemeinerte Geschwindigkeit.
Im allgemeinen führen die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen auf ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung. In MATLAB dient die ode-Familie der Lösung von Differentialgleichungen. Erwartet wird dabei ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung. Dies ist keine wesentliche Einschränkung, da jede Differentialgleichung n-ter Ordnung in n Differentialgleichungen 1. Ordnung gewandelt werden kann.
1.1.2Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen
Zu einem System mit n Freiheitsgraden gehören n Lagrangesche Bewegungsgleichungen (1.2c). Aus der Lagrange-Funktion (1.2a) ergibt sich der verallgemeinerte oder zu
kanonisch konjugierte Impuls zu
Die Ortskoordinate
und die kanonisch konjugierte Impulskoordinate
haben bei n Freiheitsgraden n Komponenten und spannen gemeinsam den 2n-dimensionalen Phasenraum auf.
Die Hamilton-Funktion H ist durch die Legendre-Transformation der Lagrange-Funktion nach den verallgemeinerten Geschwindigkeiten gegeben:
Aus der Hamilton-Funktion folgen die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen zu
Ist die Lagrange-Funktion L gegeben durch L = T − V mit T quadratisch in den verallgemeinerten Geschwindigkeiten, dann gilt
Gilt außerdem
so ist H eine Erhaltungsgröße, und es gilt der Energiesatz. Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen führen auf ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem 1. Ordnung und können daher direkt in MATLAB numerisch ausgewertet werden. Für zyklische Koordinaten ist der kanonisch konjugierte Impuls eine Erhaltungsgröße. Dies ist unmittelbar aus den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen (1.5b) ersichtlich.
1.1.3Die kanonischen Transformationen
Die kanonischen Transformationen sind Koordinatentransformationen im Phasenraum, die die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen erhalten. Die kanonische Transformation erfüllt die folgenden Gleichungen
mit (
,
) den ursprünglichen Phasenraum-Koordinaten mit Hamiltonfunktion H und (
,
) den kanonisch transformierten Koordinaten mit Hamiltonfunktion K. Für die transformierte Hamiltonfunktion gilt
und die neuen Phasenraum-Koordinaten folgen ebenfalls den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen (1.5a) und (1.5b) mit der transformierten Hamiltonfunktion K.
Die erzeugenden Funktionen F hängen jeweils von einer alten und einer neuen PhasenraumKoordinate ab. Dies führt zu 4 unterschiedlichen Erzeugenden F1(
,
, t),
Die Erzeugende F1 erfüllt die folgenden Gleichungen
Die Erzeugende F1(
,
) = ΣqiQi vertauscht bis auf das Vorzeichen Koordinaten und Impulse während F2(
,
) = ΣqiPi die identische Transformation repräsentiert.
1.2Num...
Inhaltsverzeichnis
Cover
Titelseite
Impressum
Inhaltsverzeichnis
1 Klassische Mechanik und Relativitätstheorie
2 Klassische Elektrodynamik
3 Einfache Quantensysteme
4 Finite Elemente in der Quantenmechanik
5 Zufallszahlen und Quanten-Monte-Carlo Verfahren
6 Kurzeinführung in MATLAB und die Symbolic Math Toolbox
