VI.1Reguläre Kegel
Definition. Der Kegel K in einem geordneten normierten Raum (X, K) heißt regulär, wenn jede monoton wachsende (o)-beschränkte Folge von Elementen aus K eine Cauchy-Folge ist.99
Aus der Definition folgt sofort, dass im Fall eines intervallvollständigen geordneten normierten Raumes (X, K) mit regulärem Kegel jede monoton wachsende (o)-beschränkte Folge seiner Elemente einen Normgrenzwert besitzt. Wir vermerken ebenfalls, dass ein uneigentlicher Kegel nicht regulär sein kann. Tatsächlich,wenn ±x ∈ K , x ≠ 0, dann ist die Folge x, −x, x, −x, . . . monotonwachsend und (o)-beschränkt, aber keine Cauchy-Folge.
Man kann leicht nachprüfen, dass der Kegel der nicht negativen Funktionen in den Räumen100Lp[a, b] (1 ≤ p < +∞) regulär, aber im Raum L∞[a, b] nicht regulär ist. Ein einfaches Beispiel eines abgeschlossenen, normalen und regulären Kegels in einem normierten Raum, der zwar intervallvollständig, aber kein Banachraum ist, erhält man mit dem Kegel der nicht negativen Funktionen im Raum L∞, wobei L∞ mit der aus L1 induzierten Integralnorm betrachtet wird.
Bemerkung. Ist der Kegel K in einem geordneten normierten Raum (X, K) regulär, dann ist jedes wachsende (o)-beschränkte Netz von Elementen aus K ebenfalls ein ‖⋅ ‖-Cauchy-Netz.101In der Tat, sei 0 ≤ xα ↑≤ y. Lässt man zu, dass das Netz (xα) kein ‖⋅ ‖-Cauchy-Netz ist, dann existiert bei einem gewissen ε > 0 für jedes α ein solcher Index β > α, sodass ‖xβ − xα‖≥ ε gilt. Folglich existiert eine wachsende Indexfolge αn mit
Nun ist aber
und nach der Definition der Regularität des Kegels K muss diese Folge eine Cauchy-Folge sein. Wir sind damit zu einem Widerspruch gekommen.
Theorem VI.1.1. Ist der Kegel in einem geordneten Banachraum (X, K) abgeschlossen und regulär, dann ist er normal.
Beweis. Wir nehmen den Kegel als nicht normal und demzufolge die Norm als nicht semimonoton auf K an. Dann e...
