Gravitation und Relativität

Eine Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie

Holger Göbel

• Verlag: De Gruyter Oldenbourg
• Jahr: 2014
• ISBN drucken: 9783110344264
• eBook-ISBN: 9783110396430
• Auflage: 1
• Thema: Physical Sciences
• Thema: Mathematical & Computational Physics

Die Relativitätstheorie gehört zu den bekanntesten Theorien der Physik. Auch wenn ihre unmittelbaren Auswirkungen auf unser tägliches Leben praktisch vernachlässigbar sind, geht von ihr dennoch eine große Faszination aus. Das vorliegende Buch bahnt physikalisch interessierten Lesern mit grundlegenden Kenntnissen der höheren Mathematik einen anschaulichen und nachvollziehbaren Weg zum Verständnis der Relativitätstheorie.

1 Newton’sche Mechanik

Dieses Kapitel fasst die wichtigsten Begriffe der Newton’schen Mechanik zusammen. Es werden die Newton’schen Gleichungen und insbesondere der Begriff des Gravitationspotentials erläutert. Als Ergänzung wird das Prinzip der kleinsten Wirkung beschrieben, welches auch in der Relativitätstheorie eine wichtige Rolle spielt.

1.1 Die Grundgleichungen der Newton’schen Mechanik

1.1.1 Gravitationspotential und Kraft

Gemäß der Newton’schen Gravitationstheorie ruft eine Masse M ein sog. Gravitationspotential hervor. Dabei gilt an einem Ort r außerhalb der Masse M (Abb. 1.1) für die Stärke des Gravitationspotentials

(1.1)

mit der Newton’schen Gravitationskonstante

(1.2)

Abb. 1.1: Verlauf des Gravitationspotentials Φ außerhalb einer Masse M. Um eine andere Masse m von der ersten Masse wegzubewegen, muss physikalische Arbeit geleistet werden

Wir betrachten nun eine zweite Masse m, die so klein ist, dass sie den durch M hervorgerufenen Potentialverlauf Φ praktisch nicht beeinflusst. Um diese Masse m in dem Gravitationspotential Φ anzuheben und nach r → ∞ zu bringen, ist physikalische Arbeit nötig. Dies ist die potentielle Energie

(1.3)

Die auf die Masse m wirkende Kraft F entspricht der Ableitung der potentiellen Energie E_pot nach dem Ort r, also der Steigung der Kurve E_pot(r), d.h.

(1.4)

und damit

(1.5)

Ist also der Verlauf des Gravitationspotentials Φ über dem Ort bekannt, kann daraus unmittelbar die auf die Masse m wirkende Gewichtskraft F bestimmt werden. Dabei bedeutet das negative Vorzeichen in (1.5), dass die Richtung der Kraft in negative r-Richtung, also zur Masse M hin, weist.

1.1.2 Bewegungsgleichung nach Newton

Berücksichtigen wir nun, dass die auf eine Masse m wirkende Kraft gemäß dem zweiten Newton’schen Gesetz dem Produkt aus Masse und Beschleunigung d²r/dt² entspricht, gilt

(1.6)

Aus (1.6) folgt für einen Körper, auf den keine Kraft wirkt, d.h. F = 0, durch zweimalige Integration, dass die Bahnkurve r(t) eine Gerade ist. Im Raum ist dies die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten, so dass wir sagen können, dass die Bewegung eines kräftefreien Körpers im Raum auf einer Kurve minimaler Länge erfolgt.¹

Satz 1.1: Im Netwton’schen Fall bewegt sich ein kräftefreier Körper im Raum auf einer Kurve minimaler Länge.

Sir Isaac Newton (* 4. Januar 1643 in Woolsthorpe, † 31. März 1727 in Kensington) war ein englischer Mathematiker, Physiker und Astronom. Newton studierte an der Univ. Cambridge, wo er später eine Professur für Mathematik innehatte. Er war Mitglied der Royal Society und später auch deren Präsident.

Newton gilt als einer der bedeutendsten Wissenschaftler aller Zeiten. In seinem Hauptwerk Philosophiae naturalis principia mathematica formulierte er die drei Newton’schen Axiome sowie sein Gravitationsgesetz. Damit legte er u.a. den Grundstein für die Himmelsmechanik und konnte mit Hilfe seiner Bewegungsgleichungen zeigen, dass sich Planeten auf den zuvor von...

Inhaltsverzeichnis

• Weitere empfehlenswerte Titel
• Titel
• Impressum
• Vorwort
• Inhaltsverzeichnis
• Liste der verwendeten Symbole
• 1 Newton’sche Mechanik
• 2 Spezielle Relativitätstheorie
• 3 Gravitation und die Krümmung des Raumes
• 4 Vektoren und Koordinatensysteme
• 5 Metrik und die Vermessung des Raumes
• 6 Vektoren in gekrümmten Koordinaten
• 7 Messung der Krümmung
• 8 Die Einstein’sche Feldgleichung
• 9 Schwarzschild-Metrik oder wie Masse den Raum krümmt
• 10 Bewegungsgleichung nach Einstein
• 11 Die Krümmung der Raumzeit
• 12 Lichtablenkung in der gekrümmten Raumzeit
• 13 Bewegung von Körpern in der gekrümmten Raumzeit
• 14 Robertson-Walker-Metrik und das gekrümmte Universum
• 15 Kosmologie
• A Anhang
• Literaturverzeichnis
• Index