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Analytical Geometry of Three Dimensions
William H. McCrea
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Analytical Geometry of Three Dimensions
William H. McCrea
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Über dieses Buch
Brief but rigorous, this text is geared toward advanced undergraduates and graduate students. It covers the coordinate system, planes and lines, spheres, homogeneous coordinates, general equations of the second degree, quadric in Cartesian coordinates, and intersection of quadrics.
Mathematician, physicist, and astronomer, William H. McCrea conducted research in many areas and is best known for his work on relativity and cosmology. McCrea studied and taught at universities around the world, and this book is based on a series of his lectures.
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Thema
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Analytic GeometryCHAPTER VI
QUADRIC IN CARTESIAN COORDINATES; STANDARD FORMS
39. Algebraic Lemmas
The results of this section, in the form required, are not readily accessible in textbooks of elementary algebra; their derivation here may therefore assist the student.
I. Discriminating cubic.* Let us consider the matrices
where a, b, c, ƒ, g, h are given real numbers, and write
This is in accord with the practice we shall adopt of denoting the cofactors of a, h, …, d in Δ by A, H, …, D, where
We shall denote the cofactors of a, …, h in D by and the cofactors of α − λ, …,h in Dλ by In the application required, the equation Dλ = 0, which is in fact †
will be called the discriminating cubic of the quadratic form having matrix D.
Suppose first that f, g, h ≠ 0. Let λ = γ 1, γ2 be the roots of
Then γ1, γ 2 are real, and γ1 < a, b < γ2.
By Jacobi’s theorem, or by direct verification,
Also and ƒ ≠ 0; therefore vanishes for one and only one value of λ.
Case (i). . Put λ = γ1 in (4); since a− γ1 > 0, we obtain Dγ1 < 0. Analogously, Dγ3 > 0. Therefore, when λ = −∞, γ1, γ2, ∞, the sign of Dλ 0. Therefore, when λ = −∞, γ1, γ2, ∞, the sign of Dλ is +, −, +, −. Thus (2) has three real and distinct roots λ1, λ2, λ3 such that λ1 < γ1 < λ3 < γ3 < λ3.
Case (ii). Put λ = γ1 in (4); since α−γ1 > 0, we obtain Dγ1 = 0. As in (i), Dy3 > 0. Therefore Dλ has the same sign when λ = −∞, γ2, and has one zero γ1 between these values; consequently it has a second zero between them. As in (i), there is a third zero between λ = γ2, ∞. Thus (2) has three real roots, λ1, λ2, λ3, two at least being distinct, such that λ1 = γ1 < γ2; λ2 < γ2 < λ3.
Now suppose (2) has a double root; from what has just been proved, this is necessarily λ1(= γ1) Then in (4) λ1 is a double zero of Dλ and of and so is a double zero of Therefore, since λ1( = γ1) is only a simple zero of it must be a zero also of Using these properties in further relations like (4), we can show that λ1, is a zero also of Thus a double zero of Dλ is a zero of every cofactor of Dλ.
It is ea...