Journal of Approximation Theory and Applied Mathematics Vol. 4ContentApproximation Error by Using a Finite Number of BaseCoefficients for Special Types of WaveletsSolving Fredholm Integral Equations with Applicationof the Four Chebyshev PolynomialsFourier Properties of Approximations with Functions on a CompactInterval using Daubechies Wavelets
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Approximation Error by Using a Finite Number of Base Coefficients for Special Types of Wavelets
M. Schuchmann and M. Rasguljajew from the Darmstadt University of Applied Sciences
Abstract
If an approximation yj of y is determined by an orthogonal projection from y on Vj then in practical cases only a finite number of bases coefficients can be used. Here we investigate the relationship of the approximation error, resulting from the use of a finite number of basic coefficients, depending on the number of basic elements. We consider wavelets with compact support, such as Daubechies wavelets and the Shannon wavelet for different types of functions.
Introduction of the MSA
In the wavelet theory a scaling function ϕ is used, which belongs to a MSA (multi scale analysis). From the MSA we know, that we can construct an orthonormal basis of a closed subspace Vj, where Vj belongs to a the sequence of subspaces with the following property:
is an orthonormal basis of Vj with
We use the approximation function
With the function ϕ of the MSA we get an orthonormal basis of Vj with
So we get the orthogonal projection from a L2(R) function f in Vj with
Approximation Error Through a finite kmax
If we use a finite number kmax than we get an approximation error for y in Vj depending on the kmax:
Now we consider a father wavelet with compact support: supp
with a > 0.
For Daubechies wavelets of order r we get a = 2r – 1.
Considering Functions with an exponential decay
If
(with d > 0 and c > 0) than we get for k > 0 with
We assume that kmax is so big, that the supp
If we use the maximum |ck| (with an equality in the equ...
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Approximation Error by Using a Finite Number of Base Coefficients for Special Types of Wavelets
Solving Fredholm integral equations with application of the four Chebyshev polynomials
Fourier Properties of Approximations with Functions on a Compact Interval using Daubechies Wavelets
