Jetzt lerne ich Analysis für die Oberstufe

Differential- und Integralrechnung - www.alles-Mathe.de

Marco Schuchmann

• Verlag: Books on Demand
• Jahr: 2011
• ISBN drucken:
  9783842344402
• eBook-ISBN:
  9783844856873
• Thema: Mathematics
• Thema: Mathematical Analysis

In diesem Buch werden Anwendungen der Analysis in der Oberstufe mit vielen Beispielen beschrieben. Die Beschreibungen orientieren sich an den Aufgaben- und Problemstellungen, wie sie in der Oberstufe an Gymnasien als auch an Fachoberschulen behandelt werden. Das Buch kann auch zur Abiturvorbereitung verwendet werden, wenn jemand selbstständig noch mal den Stoff der Klassen 11 und 12 aufarbeiten möchte. Es werden hier ebenso Grundlagen wie die Bestimmung einer Geradengleichung, die quadratischen Ergänzung, die p-q-Formel und die Polynomdivision beschrieben, wie auch Anwendungen der Differentialrechung (wie beispielsweise Ableitungsregeln, Berechnung von Extrema und Wendepunkten, Tangentengleichungen, Kurvendiskussion) und der Integralrechnung (wie die Berechnung von Flächen zwischen Kurven). Spezielle Funktionstypen, wie beispielsweise gebrochenrationale Funktionen, werden auch ausführlich beschrieben (Polstellen, hebbare Definitionslücken, Asymptoten). Es wurden viele Erklärungen, wichtige Hinweise für bestimmte Aufgabentypen, Aufgabenbeispiele mit Lösungstipps und Grafiken eingefügt. Bei allen Beschreibungen wurde darauf geachtet, dass diese für Schülerinnen und Schüler möglichst verständlich sind. Die Grafiken und auch die meisten hier beschriebenen Methoden können mit der Seite www.alles-mathe.de erstellt bzw. angewendet werden, um beispielsweise eigene Lösungen von Aufgaben zu überprüfen oder auch um mal eine Wertetabelle zu erstellen. Weitere Aufgaben, Beispiele und Erklärungen (beispielsweise zur Umkehrfunktion, zu Rotationskörpern oder zu Extremwertaufgaben) findet ihr auf der Seite www.mathe-total.de, wie auch Aufgaben und Erklärungen zu weiteren Funktionstypen, wie den Logarithmus-Funktionen und den trigonometrischen Funktionen. In dieser Auflage wurden Links zu Aufgaben mit Lösungen und zusätzlichen Online-Aufgaben hinzugefügt.

1 Geraden

1.1 Untersuchung linearer Funktion

Der Graf einer Funktion der Form

y = mx + b bzw. f(x) = mx + b

ist eine Gerade.

Die waagrechte Achse ist im Folgenden immer die x-Achse (Abszisse) und die senkrechte Achse die y-Achse (Ordinate).

m ist die Steigung. Wenn x um eines erhöht wird, dann erhöht oder verringert sich f(x) um m, je nachdem, ob m positiv oder negativ ist (denn f(x+l) - f(x) = m). Wenn m = 0 ist, dann ist die Gerade eine parallele zur x-Achse und für b = 0 liegt diese auf der x-Achse. b ist der Achsenabschnitt auf der y-Achse (kurz: y-Achsenabschnitt). D.h. die Gerade scheidet die y-Achse im Punkt S_y(0; b), denn f(0) = b. Die Nullstelle ist der Schnittpunkt mit der x-Achse. Da alle Punkte, die auf der x-Achse liegen, die y-Koordinate Null haben, muss man zur Berechnung der Nullstellen die Funktionsgleichung gleich Null setzen.

Nullstellen bestimmen:

Es sei m ≠ 0

f(x) = mx + b = 0 |-b

mx = -b

x = -b/m.

Also ist x = -b/m die Nullstelle der Gerade, bzw. N(-b/m; 0) deren Schnittpunkt mit der x-Achse.

Beispiel:

Gegeben ist die Geradengleichung f(x) = -2x + 4. Gesucht sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Mit der y-Achse: S_y(0; 4)

Mit der x-Achse: -2x + 4 =0 |-4

-2x = -4 |:(-2)

x = 2 ⇒ N(2; 0)

1.2 Bestimmung der Geradengleichung

Gegeben seien zwei Punkte P(x₁;y₁) und Q(x₂;y₂) und gesucht ist die Gleichung der Geraden durch diese zwei Punkte.

Beispiel:

Gegeben sind die Punkte P(-2; 4) und Q(l; 10). Gesucht ist die Gleichung der Geraden durch diese Punkte.

Eine Möglichkeit die Gleichung zu bestimmen, wäre die, die Komponenten der beiden Punkte in die Funktion f(x) = mx + b einzusetzen. Diese Möglichkeit funktioniert auch bei anderen Funktionstypen und man muss sich keine Formel merken:

(1) f(-2) = -2m + b = 4

(2) f(1) = m + b = 10

Es handelt sich hier um ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.

Subtrahiert man die Gleichung (1) von der Gleichung (2), so „fällt b weg“:

(1) - (2) -3m = -6 |:(-3)

m = 2

Setzt man m = 2 z.B. in (2) ein, so ergibt sich

2 + b = 10 |-2

b = 8

Damit lautet die Gleichung: f(x) = 2x + 8

Man könnte die Gleichung auch mit folgenden Formeln bestimmen:

Würde man die Formel im Beispiel von oben verwenden, so gilt:

Statt zwei Punkten könnte auch ein Punkt P(x₁;y₁) und die Steigung m gegeben sein. In diesem Fall kann man m und die Koordinaten des Punktes P direkt in (I) einsetzen.

Ein weiteres Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung f(x) = 2x + 2 der Geraden f.

a) Liegt P(1; 4) auf der Geraden f?

f(1) = 2 + 2 = 4, womit P auf der Geraden liegt.

b) Bestimme die fehlenden Koordinaten der Punkte Q(3;?) und R(?; -4) auf der Geraden f.

f(3) = 6 + 2 = 8 ⇒ Q(3; 8)

f(x) = 2x + 2 = -4 |-2

2x = -6 | :2

x = -3, also ist R(-3; -4).

1.3 Schnittpunkte und Schnittwinkel

Stimmen die Steigungen zweier Geraden überein, sosind diese parallel zueinander. Sind die Achsenabschnitte verschieden, dann sind sie „echt parallel“ und haben auch keinen Schnittpunkt.

Schnittstellen bestimmt man allgemein durch Gleichsetzten beider Funktionsgleichungen.

Beispiel:

f(x) = 2x + 4

g(x) = -x + 1

f(x) = g(x)

2x + 4 = -x+1 | +x

3x + 4 = 1 |-4

3x = -3 | :3

x = -1

Nun kann man den y-Wert des Schnittpunktes bestimmen, indem man x = -1 in eine der beiden Geradengleichungen einsetzt:

y = g(-1) = -(-1)+ 1 =2

Also ist S(-1; 2) der Schnittpunkt.

Kommen wir nun zur Berechnung des Schnittwinkels:

Der Neigungswinkel einer Geraden y = mx + b in Bezug zur x-Achse ergibt sich durch folgende Gleichung:

m = tan(α)

Hier kann sich auch ein negativer Wert für α ergeben, falls die Gerade eine negative Steigung hat. In diesem Fall ergibt sich die Gerade durch Drehung der x-Achse in negativer Drehrichtung (d.h. mit dem Uhrzeigersinn) um die Nullstelle der Geraden. Der Schnittwinkel mit der x-Achse ist |α|.

Somit gilt für die Gerade f:

2 = tan(α_f)| tan^-1

α_f = tan^-1(2) ≈ 63,43°

Und für die Gerade g:

-1 = tan(α_g) | tan^-1

α_g = tan^-1(-1) = -45°

Da α_f > α_g ist, ergibt sich der Schnittwinkel durch:

Für α_f ≤ α_g wäre dieser g...

Inhaltsverzeichnis

• Vorwort
• Inhaltsverzeichnis
• 1 GERADEN
• 2 PARABELN
• 3 POLYNOME ODER GANZRATIONALE FUNKTIONEN
• 4 GEBROCHENRATIONALE FUNKTIONEN
• 5 EXPONENTIALFUNKTIONEN
• 6 DIFFERENTIALRECHNUNG
• 7 INTEGRALRECHNUNG
• 8 FUNKTIONEN ÜBER ANGABEN BESTIMMEN
• Impressum