Stochastik - keine schwarze Kunst

Grundlagen der Stochastik für die Sekundarstufe II

Tony Schenk

• Verlag: Books on Demand
• Jahr: 2014
• ISBN drucken: 9783732298464
• eBook-ISBN: 9783735753083
• Auflage: 2
• Thema: Bildung
• Thema: Hochschulausbildung

+++ 2. überarbeitete Auflage +++"Stochastik – keine schwarze Kunst!" – der erfrischend andere Zugang zum oftmals ach so leidigen Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung und ideal als Ergänzung zum Unterricht. Geschrieben von einem Nicht-Mathematiker werden die Grundlagen der Stochastik anschaulich über Beispiele und ohne "Formelwahn" abgeleitet. Vor allem bodenständige und leicht zugängliche Erklärungen sollen davon überzeugen, dass die Stochastik alles andere als "schwarze Kunst", sondern gewöhnliche Zahlenspielerei ist – mit wesentlich geringerem Rechenaufwand als Analysis oder Geometrie. Inhalt: - Grundlagen der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung- Kombinatorik- Übungsaufgaben mit ausformulierten Lösungswegen- bedingte Wahrscheinlichkeit, 4-Felder-Tafeln- Bernoulli-Versuche, Binomialverteilung- Rolle der Statistik, Normalverteilung, Hypothesentests mit Fehler 1. und 2. Art- Tschebyschow'sche Ungleichung, Gesetz der Großen Zahlen- ein Blick über den Tellerrand- Übungsaufgaben mit ausformulierten Lösungswegen

1 Grundlagen

1.1 Wahrscheinlichkeit

Das Ergebnis ist einer der möglichen Ausgänge eines Zufallexperimentes und ist nicht weiter unterteilbar.

Die Wahrscheinlichkeit (P, p) beschreibt, wie sicher oder unsicher ein bestimmter Ausgang eines Versuches ist und berechnet sich nach klassischer Definition (P.-S. Laplace) wie folgt:

Das allein sollte einem logisch erscheinen und wenn nicht, dann ist eh alles verloren (klingt hart, ist aber so). Diese Definition spiegelt wider, was man im alltäglichen Leben unter dem Begriff der Wahrscheinlichkeit (WSK) versteht, sie ist greifbar und für diskrete („abzählbare“) Ergebnisse gültig. Wenn ein Experiment eine Menge von n Ergebnissen hat und nichts Vernünftiges dafür spricht, dass ein Ergebnis gegenüber dem anderen bevorzugt eintreten sollte, so müssen alle gleichwahrscheinlich sein. Es kann also nur entscheiden, welcher beschriebene Ausgang welche Anzahl an Ergebnissen in sich vereint und wie sich deren Anzahl zur Gesamtheit der Ergebnisse verhält. Eine Grenze findet diese Betrachtung, wenn man eine mathematisch exakte Beschreibung für infinitesimal genaue (unendlich „schmale“) Ergebnisse und unendlich große Ergebnismengen sucht.

Um einen Ausblick zu geben, hier ein Beispiel:

Eine Maschine soll Rohre der Länge 2m fertigen. Da aber keine 100%ige Exaktheit erreichbar ist, streuen die Ergebnisse. Das Rohr kann also auch mal 1mm länger oder kürzer sein. Jedoch ist eine genaue Benennung eines Ergebnisses schwer, da man diese beliebig genau machen könnte: Das Rohr kann 1,997253672819767808765… 2m oder 1,997253672819767808765… 4m lang sein. Das sind also augenscheinlich zwei verschiedene Längen. Die drei Punkte deuten schon an, dass ich eigentlich nicht wirklich in der Lage bin zwei Ergebnisse voneinander zu trennen und meine Exaktheit theoretisch bis ins unendliche treiben kann. Dies ist ein Problem, welches ich dem interessierten Leser in Kapitel 4 näher als hier für den Einstieg nötig veranschaulichen möchte.

Ein weiteres Problem ist, dass theoretisch alle Längen von 0 bis ∞ möglich sind. Dass so extreme Ergebnisse sicherlich nicht so wahrscheinlich sind, wie z.B. 1,99m oder 2,01m sieht sicher jeder ein, jedoch ist deren Eintritt nicht auszuschließen und die Ergebnisse somit auch mit einer gewissen (wenn auch sehr, sehr kleinen) Wahrscheinlichkeit behaftet. Dies ist das 2. Problem, welches klassisch nicht in den Griff zu bekommen ist und später mithilfe der Analysis (Differenziation und Integration) gelöst wird. Auch hierzu mehr in Kapitel 4.

Diese Probleme werden in der Schul-Stochastik meist außen vor gelassen und nur kurz gestreift. Alle Aufgaben, die man vorgesetzt bekommt, sind soweit idealisiert, dass sie klassisch zu lösen sind. So kennt das Lieblingsspielzeug, der Würfel eben nur 1, 2, 3, 4, 5 und 6, aber nicht 1,5 oder 2,443 als Ergebnisse. Das ist aber nicht weiter tragisch, sondern vielmehr notwendig, um nicht gleich erschlagen zu werden. Wir können den Gipfel der Wissenschaft ja nicht von oben sondern nur von unten her erklimmen.

Um nun zu dem Punkt zurückzukommen, von dem ich der Exaktheit halber kurz ausgeholt habe: Ich denke, es leuchtet jedem ein, dass genau zwei Ergebnisse eintreten können, wenn man eine Münze wirft (nämlich Kopf oder Zahl) und jedes 50% WSK besitzt.

Ebenso verhält es sich bei einem Würfel: Mögliche Ergebnisse sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 – also gibt es sechs mögliche Ergebnisse. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse hängt nun daran, was uns interessiert:

1. 1) Möchten wir wissen, mit welcher WSK wir eine 1 würfeln, so haben wir ein günstiges Ergebnis, nämlich die 1. Die WSK ist also 1/6 = 0.1667.

1. 2) Lautet die Aufgabenstellung aber z.B.: „Mit welcher WSK wird eine gerade Zahl gewürfelt?“, haben wir drei günstige Ergebnisse, nämlich 2, 4 und 6. Die WSK ist nun 3/6 = 0, 5.

1. 3) Oder lautet sie: „Mit welcher WSK wird eine Zahl gewürfelt, die kleiner als 5 ist?“, so haben wir sogar vier günstige Ergebnisse, 1, 2, 3 und 4, also eine WSK von 4/6 = 0, 6667.

1. 4) Denkbar wären auch Fragen wie: „Mit welcher WSK wird eine Zahl gewürfelt, die kleiner als zehn ist?“ oder „Berechnen sie, wie wahrscheinlich eine durch 7 teilbare Zahl als Ergebnis ist!“. In diesen Fällen haben wir einmal ein sicheres Ereignis, denn jedes mögliche Ergebnis ist kleiner als zehn und auf der anderen Seite ein unmögliches Ereignis, weil keine der Zahlen von 1 bis 6 durch 7 teilbar ist.

Unter einem Ereignis versteht man eine Menge aus möglichen Ergebnissen. Diese kann leer sein (∅, unmögliches Ereignis, die WSK ist null), genau ein (Elementarereignis) oder mehrere Ergebnisse enthalten. Enthält sie alle, dann wird sie als sicheres Ereignis (WSK = 1, Was soll sonst passieren? Es geht ja nichts anderes.) bezeichnet.

Egal für welches klassische Experiment man Wahrscheinlichkeiten ausrechnen möchte, man nut...

Inhaltsverzeichnis

• Widmung
• Vorwort
• Danksagung
• Inhaltsverzeichnis
• Abbildungen
• Tabellen
• 1 Grundlagen
• 2 Kombinatorik
• 3 Für den fortgeschrittenen Leser
• 4 Grenzen der klassischen Betrachtung der Wahrscheinlichkeit
• 5 Ein Blick über den Tellerrand
• 6 Übungsaufgaben
• 7 Lösungen
• Informationen über den Autor
• Impressum