Quantenmechanik aus elementarer Sicht Buch 1

Karl Fischer

• Verlag: Books on Demand
• Jahr: 2013
• ISBN drucken: 9783839161425
• eBook-ISBN: 9783732209347
• Auflage: 3
• Thema: Naturwissenschaften
• Thema: Physik

Das Buch bringt eine Einführung in die Quantenmechanik bis hin zu den Anfängen der Quantenfeldtheorie. Auch die Relativitätstheorie wird kurz vorgestellt. Es bringt ungewöhnliche Ergänzungen und Erweiterungen, viele Beispiele und zur Erleichterung viele Nebenrechnungen. Mathematische Voraussetzungen werden eingangs rekapituliert und begründet. Es wird versucht, die Theorie möglichst elementar zu verwurzeln.

1.0 Was ist eine Quantenmechanik

Jede Theorie braucht zunächst einmal Begriffe, auf die sich Verknüpfungen beziehen können. Typische Begriffe der klassischen Physik, insbesondere der Mechanik, der Physik des Massenpunktes, sind

die Ortskoordinaten x,y,z, vektoriell mit x oder r bezeichnet
die Zeit t
die Masse m
daraus abgeleitete Größen wie
die Geschwindigkeit	v
die Beschleunigung	b
die Kraft	K = m * b	Masse mal Beschleunigung
der Impuls	p = m * v	Masse mal Geschwindigkeit
der Drehimpuls	J = r x p	Ortsvektor kreuz Impulsvektor
das Drehmoment	M = r x K	Ortsvektor kreuz Kraft
die Energie	E = K * x	Kraft mal Weg

Man kann x, t, m, v und b als elementare Größen betrachten, die nicht mehr zerlegbar sind,

K, p, J, M und E als zusammengesetzte Größen, die dann konkret eine größere Variationsbreite erlauben. Haben etwa zwei Massen gleichen Impuls, so müssen sie nicht in m und v übereinstimmen, es kann eine Masse größer als die andere sein und dafür die Geschwindigkeit kleiner. Weil die Energie darüber hinaus eine skalare (eindimensionale) Größe ist, ist die Variationsbreite besonders groß.

In der QM bleiben diese Begriffe erhalten, bekommen aber eine andere Gewichtung.

Im Blick stehen hier insbesondere die Begriffe Ort, Zeit, Impuls, Energie, Masse, Drehimpuls,
weniger die Begriffe Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung.

Nun kommt der bedeutende Unterschied:

In der klassischen Mechanik entsprechen diesen Begriffen Variablen, Zahlen oder zu Vektoren vereinigte Zahlen,
in der QM entsprechen ihnen (Hilbert)vektoren und Operatoren (Matrizen)

Ein Beispiel:

Klassisch: Ein Massenpunkt m befinde sich am Ort x. x ist eine Variable.

Die Gesamtheit aller Orte bilden die x-Achse, die Menge aller reellen Zahlen.

QM: x ist keine Variable, sondern ein (Hilbert)vektor |x> x selbst dient zur Kennzeichnung des Vektors. Die Gesamtheit aller Orte bilden einen Vektorraum. Da es unendlich viele Werte von x gibt, sind es auch unendlich viele Vektoren. Die verschiedenen Werte von x sind in einem Operator, Matrix als so genannte Eigenwerte untergebracht, explizit oder implizit.

Was das nun auf sich hat, wird noch im Einzelnen erläutert werden.

Anmerkung: David Hilbert, deutscher Mathematiker (1862-1943)

Nun ist es nicht so, dass jede klassische Größe in der QM in einen Hilbertvektor übergeführt wird, sondern manche Größen bleiben Zahlen, insbesondere Parameter wie die Masse, elektrische Elementarladung, Lichtgeschwindigkeit, Planksches Wirkungsquantum, Koppelungskonstanten, usw

Auch sind die bei der Überführung entstehenden Vektorräume nicht immer unabhängig voneinander, sondern benutzen in manchen Fällen denselben Vektorraum auf verschiedene Weise und sind so gewissermaßen in Konkurrenz zueinander. So ist der Hilbertraum für Ort und Impuls eigentlich derselbe, was Abhängigkeit untereinander bewirkt (Unschärferelation).

Konkurrenz zwischen verschiedenen Variablen gibt es auch klassisch. So kann man für ein freies Teilchen Impuls und Energie nicht frei vorgeben, weil da Abhängigkeiten bestehen. In der QM wird diese Konkurrenz eine Stufe tiefer gelegt, eben Beispiel Ort und Impuls, auch Zeit und Energie. Das hat zur Folge, dass für quantenmechanische Berechnungen auch die Ausgangssituation, die Startwerte nicht immer in dem Umfang präzise vorgegeben werden können wie im Klassischen. Man kann, im Beispiel, einer Masse im Klassischen Ort und Geschwindigkeit (Impuls) beide exakt vorgeben, in der QM nicht oder nur mit Einschränkungen. Das wirkt sich natürlich auch auf die Ergebnisse aus. Man bleibt von Anfang bis Ende im System.

Man kann natürlich fragen, warum man nicht zu jeder klassischen Variablenart einen eigenen unabhängigen Vektorraum aufmacht, um das Problem der Konkurrenz nicht aufkommen zulassen. Das ist deswegen, weil zu einem Vektorraum meist mehrere Operatoren definierbar sind, die verschiedene klassische Variablen vertreten. Neben dem nun bekannten Beispiel ein anderes. Fasst man die drei unabhängigen Vektorräume für die Ortskoordinaten x, y und z zu einem zusammen, so sind darin nun auch die Drehimpulsoperatoren formulierbar, die untereinander und auch mit den anderen wiederum in Konkurrenz treten.

In der QM kommt eine neue Größe hinzu, die es klassisch nicht gibt, das sind die Wahrscheinlichkeitsamplituden, die Koeffizienten zu den (Hilbert)vektoren, die deren Isolierung aufheben und eine Verbindung zwischen ihnen herstellen. Aus ihnen sind dann Wahrscheinlichkeiten für physikalische Ereignisse errechenbar. Die Hilbertvektoren mit ihren Eigenwerten, auch Observable genannt, vertreten die experimentell erfassbaren Größen. Klassisch kennt man nur exakte Berechnung oder Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten, aber eben nicht die Wahrscheinlichkeitsamplitude, sozusagen die „Wurzel aus der Wahrscheinlichkeit“.

Klassisch	QM
Variable x => Alle x-Werte	Vektor zu x Operator X als Träger der x-Werte Vektorraum zu X mit Wahrscheinlichkeitsamplituden als Koeffizienten der Vektoren
Elementar-Variable ohne Konkurrenz zueinander	teilweise in Konkurrenz

Man hat gewissermaßen eine Anhebung des Gesamtsystems von der Variablen-Ebene auf die Vektor-Ebene. Auch die Kompliziertheit der Rechnungen werden damit angehoben.

Die QM gilt als indeterministisch, wegen auch prinzipiell nicht weg retuschierbarer Wahrscheinlichkeiten, aber natürlich ist die Mathematik, die sie benutzt deterministisch, hier folgt aus dem Einen zwangsläufig das Andere. Das ist ihr fester Boden, auf dem sie steht.

Die QM beschäftigt sich hauptsächlich mit der Welt im Kleinen, mit atomaren Verhältnissen, wo das Plancksche Wirkungsquantum h nicht mehr vernachlässigbar ist. Hier hat sie das Sagen. Das Makroskopische, die Welt wie wir sie kennen, dagegen ist mehr das Feld der klassischen Physik. Tatsächlich hat die QM das Bestreben, das Kleine und noch Kleinere (Atome, Elementarteilchen) zu verstehen. Sie strebt ins Innere der Dinge.

2. Mathematische Voraussetzungen

2.1 Vektoren

2.1.1 Allgemeines

Sowohl in der klassischen Physik wie in der QM ist der Begriff Vektor von großer Bedeutung.

Ein Vektor ist eine Kolonne von Zahlen, oft waagrecht geschrieben, dann spricht man von einem Zeilenvektor, senkrecht geschrie...

Inhaltsverzeichnis

• Titelseite
• Widmung
• Einleitung
• Inhaltsverzeichnis
• 1.0 Was ist eine Quantenmechanik
• 2.0 Mathematische Voraussetzungen
• 3.0 Einstieg in die QM, der eindimensionale Ortsraum
• 4.0 Weiterer Aufbau der QM im Eindimensionalen
• 5.0 Ergänzung zum vollständigen Orts- und Zeitraum durch Produktbildung
• 6.0 Justierung der QM durch de-Broglie-Wellen
• 7.0 Die Energiegleichung im eindimensionalen Ort- und Zeitraum
• 8.0 QM im Dreidimensionalen
• 9.0 Theorie-Nachschub
• 10.0 Der zweidimensionale (komplexe) Spinraum
• 11.0 Mehr-Teilchen- Systeme
• 12.0 (Iso)spin-Koppelungen, Wirkungsquerschnitt
• 13.0 Die erweiterten Pauli-Matrizen
• 14.0 Die erweiterten Pauli-Matrizen, Ergänzungen
• 15.0 Kurze Vorstellung der relativistischen Mechanik
• 16.0 Das Produkt von Spinraum und Ortsraum
• 17.0 Das Produkt von Ortszeitraum, Energievorzeichenraum und Spinraum
• 18.0 Transformationen an Operatoren und ihre Entsprechung im Reellen
• 19.0 Spin-1-0-Systeme, Maxwell-Gleichungen
• 20.0 Spin-½-½-Systeme
• 21.0 Spin-½-½-Systeme mit Selbstwechselwirkung
• 22.0 Anzahlraum, Erzeugungsoperatoren und Vernichtungsoperatoren
• 23.0 Linearkombinationen mit Schiebeoperatoren
• 24.0 Folgerungen
• 25.0 Die Klein-Gordon-Gleichung und die Gleichung des harmonischen Oszillators
• 26.0 Die Green-Methode
• 27.0 Die Green-Methode, Fortsetzung
• 28.0 Abschluss
• Literaturverzeichnis
• Stichwortverzeichnis
• Über den Autor und Bemerkungen zur Auflage 2 und 3
• Impressum