In diesem Buch werden Anwendungen der analytischen Geometrie in der Oberstufe mit vielen Beispielen beschrieben. Die Beschreibungen orientieren sich an den Aufgaben- und Problemstellungen, wie sie in der Oberstufe an Gymnasien als auch an Fachoberschulen behandelt werden. Das Buch kann auch zur Abiturvorbereitung oder zum Auffrischen des Oberstufenwissens vor einem Studium verwendet werden, da es kompakt die wesentlichen Inhalte zur analytischen Geometrie bzw. linearen Algebra darstellt.
Es werden ebenso Grundlagen, wie die Berechnung der Länge eines Vektors oder eines Mittelpunktes zweier Punkte und die Bestimmung von Geradengleichungen und Ebenengleichungen in Parameterform beschrieben, als auch die Untersuchung der Lagebeziehungen, die Berechnung von Abständen und Schnittwinkel, die Umrechnung der verschiedenen Formen von Ebenengleichungen und die Berechnung von Flächen. Darüber hinaus wird auch dargestellt, wie man einen Punkt an einer Ebene spiegelt oder eine Kugelgleichung bestimmt.
Es wurden viele Erklärungen, wichtige Hinweise für bestimmte Aufgabentypen, Aufgabenbeispiele mit Lösungstipps und Grafiken eingefügt. Bei allen Beschreibungen wurde darauf geachtet, dass diese für Schülerinnen und Schüler möglichst verständlich sind. Die Grafiken und auch die meisten hier beschriebenen Methoden können mit der Seite www.alles-mathe.de erstellt bzw. angewendet werden, um beispielsweise eigene Lösungen von Aufgaben zu überprüfen. Weitere Aufgaben mit Lösungen, Beispielen und Online-Aufgaben zum Buch sind unter www.mathe-total.de zu finden und in der aktuellen Auflage wurden Links zu entsprechenden Übungsaufgaben mit Lösungen hinzugefügt.
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Im Gegensatz zu Punkten wie beispielsweise A(1; 2) schreibt man die Komponenten eines Vektors übereinander, z.B.
Vektoren werden, wie oben zu sehen ist, mit kleinen Buchstaben und einem Pfeil darüber gekennzeichnet. In der unteren Grafik ist zu sehen, dass der Vektor
nicht an eine bestimmte Stelle „gebunden“ ist, sondern man kann ihn parallel verschieben.
Die horizontale Achse ist die x1-Achse (oder x-Achse) und die vertikale Achse ist die die x2-Achse (oder y-Achse).
Vektoren sind durch ihre Länge, Orientierung und ihre Richtungen festgelegt. Betrachtet man den Vektor, der vom Ursprung (Origo) O zum Punkt A(1; 2) zeigt, der so genannte Ortsvektor des Punktes A, so schreibt man
Als nächstes wollen wir den Vektor bestimmen, der von einem Punkt A, z.B. A(1; 2,5) nach B(3; 1,5) zeigt. Hier gilt:
Somit ist
Im Beispiel:
Wie man sieht, werden Vektoren Komponentenweise subtrahiert (und auch addiert). Man kann auch einen Vektor mit einer reellen Zahl multiplizieren, womit jede Komponente mit dieser Zahl multipliziert wird.
Beispiel:
2·
ist doppelt so lange wie
.
Für den Mittelpunkt M zwischen zwei Punkten A und B gilt:
Nun gibt es nicht nur Vektoren in der reellen Ebene (bzw. im
2), sondern auch im dreidimensionalen Raum (bzw. im
3). Hier hat dann der Vektor drei Komponenten.
Beispiel:
Die oben beschriebenen Regeln gelten hier analog.
Unten haben wir den Punk...
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
1 GRUNDLAGEN
2 GERADEN
3 EBENEN
4 KREISE UND KUGELN
5 ANWENDUNGSAUFGABEN
6 AUFGABEN MIT ALLES-MATHE.DE LÖSEN
Impressum
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