Primzahlzwillinge

Die Unendlichkeit, ein Algorithmus und ein Beweis

Michael Thiel

• Verlag: Books on Demand
• Jahr: 2015
• ISBN drucken: 9783739217055
• eBook-ISBN: 9783739284224
• Auflage: 1
• Thema: Biowissenschaften
• Thema: Wissenschaft Allgemein

Ein Konglomerat aus verschiedenen Sachverhalten und Bedingungen im Zahlenteppich führt dazu, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge geben muss. Michael Thiel bringt in seinem Buch zwar keinen Formelbeweis hervor, aber einen logischen. Wenn man von einem vorläufig letzten Primzahlzwilling ausginge, dann würde dies, erhebliche Auswirkungen auf die Ordnung und Unordnung im Erscheinen von Primzahlen ausmachen. Alle verbleibenden Primzahlen müssten als Multiplikator dann bestimmten Gesetzmäßigkeiten folgen. Michael Thiel zeigt auf verblüffende Weise, dass dies aber nicht dauerhaft von den bereits erschienenen Primzahlen eines Bereichs in ihrer Funktion als Multiplikator erreicht werden kann. Darüber hinausgehend, bringt das Buch im Primzahl-Automaten einen Algorithmus hervor, der zeigt, wie und wodurch Primzahlen erscheinen und wie sie sich verteilen. Letztere Erkenntnis ist neu in der Primzahlenforschung.

1. Die Entstehung der Primzahlen

1.1 Das Zählen

Es erscheint zunächst banal, wenn man sich die Frage stellt, was überhaupt Zahlen sind. Zahlen sind durch das Abzählen von Dingen entstanden, die sich durch irgendwelche Kennzeichen in einen Sammelbegriff zusammenfassen lassen. Man könnte z.B. die Menschen zählen, die sich zu einer bestimmten Zeit an einem bestimmten Ort befinden oder man zählt, wie viele Äpfel an einem Baum hängen. In diesen Fällen wäre der Sammelbegriff Mensch oder Apfel. Es lassen sich beim Zählen für Dinge sowohl umfassende als auch einschränkende Begriffe wählen. Man könnte sich in einer Zählung dafür entscheiden, jegliches Obst zu berücksichtigen, also nicht danach zu unterscheiden, ob es sich um Äpfel oder Birnen handelt. In diesem Fall wäre der Sammelbegriff also Obst. Für die Zahl, die sich letztlich bildet ist es irrelevant, um welche Art des Gezählten es sich handelt. Wenn jemand beim Zählen z.B. letztlich auf die Zahl 4 kommt, spielt es für das Zustandekommen der 4 keine Rolle, ob der Zählende sich bei den gezählten Gegenständen auf vier Dinge gleicher oder verschiedener Natur bezieht. Für das Zustandekommen der Zahl 4 ist es stattdessen relevant, dass sie sich auf vier Einheiten bezieht. Diese können zu sich selbst genommen in der Regel, nicht derselben, wohl aber dergleichen Natur sein. Daher macht es wenig Sinn, einen einzigen Apfel so zu zählen, als hätte man vier Äpfel.

Beim Zählen geht es somit um bestimmte Einheiten. Zur Beschreibung der Anzahl dieser Einheiten wurden Zahlen geschaffen. Jede Zahl steht daher für die Häufigkeit des Vorhandenseins einer bestimmten Einheit. Die 2 beschreibt zwei Einheiten und die 4 beschreibt vier Einheiten.

1.2 Die Addition

Der Mensch stellte meines Erachtens irgendwann fest, dass das Zählen von Dingen mühsam wurde. Zu dieser Erkenntnis kam er potentiell dann, wenn er Dinge bereits gezählt hatte, zu jenen nun aber neue Dinge hinzukamen. Hier ein mögliches Beispiel:

Wenn ein Bauer fünf Kühe besaß, irgendwann dann aber zwei dazu bekam, hatte er bis dato zum Feststellen, wie viele Kühe er besaß, nur die Möglichkeit alle Kühe zusammen noch einmal zu zählen. Er musste also wieder bei der ersten Kuh beginnen, obwohl er sie schon einmal gezählt hatte. Er zählte also alle Kühe, beginnend von den ersten fünf und endend bei den neuen beiden. Sein Resultat am Ende des Zählens offenbarte sieben Kühe. Vielleicht war es gerade dieser Bauer, der irgendwann feststellte, dass sich bestimmte Sachverhalte beim Zählen wiederholen. Vielleicht bemerkte er, dass sich immer genau dann die Zahl 7 offenbart, wenn man zu fünf Dingen zwei dazu bekommt.

Diese Wiederholungen beim Zählen entdeckten womöglich nicht nur Bauern, sondern auch anderen Menschen. Ein anderer stellte vielleicht fest, dass sich das Resultat 5 immer dann ergibt, wenn man zu zwei Dingen drei dazu gibt. Wieder ein anderer stellt fest, dass gleiche Resultate aus dem Zusammenfügen unterschiedlicher Mengen entstehen können. Dieser war es, der feststellte, dass man nicht nur aus fünf plus zwei Dingen, sieben Dinge herausbekommt, sondern auch aus drei plus vier Dingen.

Die Entdeckungen durch Menschen, dass man beim Zusammenfügen bestimmter Dinge eine bestimmte Größe herausbekommt, häuften sich. Daher taten sie sich zusammen und entwickelten ein System, das alle Sachverhalte bzgl. des Dazu Fügens von Dingen umschreiben sollte. Die Rede ist von dem Additionssystem. Es beschreibt das Zusammenfügen von Bündeln, die aus einer bestimmten Anzahl von Einheiten bestehen.

1.3 Die Multiplikation

Dank des Additionssystems konnte man mit einfachen Operationen die Gesamtheit von Einheiten errechnen, die sich durch das Zusammenfügen von Bündeln gleicher oder unterschiedlich großer Anzahlen von Einheiten ergaben.

Irgendwann entdeckten die Menschen, dass sich bestimmte Additionsschritte vereinfachen lassen. Dies ist insbesondere immer dann der Fall, wenn man Bündel zusammenfügt, die eine gleich große Anzahl von Einheiten besitzen. Das Feststellen, wie groß die Anzahl von Einheiten im Resultat ist, erfolgt durch eine andere Rechenoperation, der Multiplikation. Anders als bei der Addition werden hier die Bündel nicht mehr zusammengefügt bzw. zusammengezählt, sondern es wird hierbei zunächst die Häufigkeit der gleich großen Bündel von Einheiten festgestellt, um jene dann mit der Größe der Einheiten innerhalb eines Bündels zu multiplizieren. Die Rechenoperation 2 + 2 = 4 führt zwar zu dem gleichen Resultat wie die Rechenoperation 2 x 2 = 4, aber dennoch sind mit beiden Rechenoperationen unterschiedliche Sachverhalte gemeint.

In der Addition 2 + 2 beschreibt jede 2 ein Bündel mit zwei Einheiten. In der Multiplikation wird nur ein Bündel mit zwei Einheiten beschrieben. Die andere Zahl 2 beschreibt hingegen, dass dieses Bündel zweimal vorhanden ist.

Der Unterschied wird vor allem in den Rechenoperationen sichtbar, die zu anderen Ergebnissen führen, obwohl im Ursprung der Berechnung gleiche Zahlenwerte benutzt wurden.

So ergibt die Addition 3 + 3 = 6 ein anderes Resultat als die Multiplikation 3 x 3 = 9. Um diese Multiplikation in einer Addition zu beschreiben, müsste man stattdessen 3 + 3 + 3 schreiben, weil man eben drei Bündel mit jeweils drei Einheiten zusammengefasst hat.

1.4 Relevanz

Die vorausgehenden drei Abschnitte erscheinen zunächst banal, weil wir die einfachen Rechenoperationen der Arithmetik ja bereits in der Grundschule erlernt haben. Doch durch den alltäglichen Umgang mit Hochleistungsrechnern verlieren wir vielleicht gerade den Blick auf die einfachen nahe liegenden Rechenoperationen. Doch vielleicht sind gerade hier die entscheidenden Ursachen für die Geheimnisse um die Primzahlen zu entdecken. Denn dass es generell Primzahlen gibt, hängt mit der Kombination des Additions- und Multiplikationssystem zusammen.

1.5 Die Kombination des Additions- und Multiplikationssystems

Wie zuvor ausgeführt beziehen sich beide Systeme auf das Abzählen von Einheiten und vereinfachen dieses auf ihre spezifische Weise.

Beim Abzählen natürlicher Zahlen erscheinen diese auf ihre einmalige und im Hier und Jetzt bestehende individuelle Weise. Die jeweilige Zahl erscheint beim Zählen in dem Moment, in dem man Bezug zu der dazugehörigen Einheit schafft.

Das Entstehen einer Zahl im Additionssystem funktioniert jedoch auf eine andere Weise. Man fügt Bündel von Einheiten zusammen. Als Resultat erhält man eine Zahl, die durchaus Zahlen auslässt, deren Gebrauch vorher beim Zählen noch notwendig war.

Bei der Rechenoperation 2 + 3 = 5 erscheinen so z.B. nicht die Zahlen 1 und 4, obwohl diese beim Raufzählen zur 5 benutzt worden wären. Neu an der Addition im Vergleich zum Zählen ist auch, dass man zu einer gleichen Summe auf verschiedene Arten kommen kann. So lässt sich die 5 nicht nur aus 2 + 3 erzeugen, sondern auch aus 0 + 5, 1 + 4, 3 + 2, 4 + 1 und 5 + 0. Lässt man die Rechenschritte außer Acht, in denen ein Summand die Null und der andere äquivalent der Summe ist (z.B. 0 + 5 und 5 + 0) lässt sich sagen, dass sich jede Zahl x > 1 aus x – 1 verschiedenen Rechenoperationen mit natürlichen Zahlen erzeugen lässt.

An dieser Stelle wird das Multiplikationssystem interessant, weil sich eine natürliche Zahl x nicht auf eine so vielfache Art und Weise erzeugen lässt. Viel mehr noch haben verschiedene Zahlen hier eine andere Bedeutung als in der Addition. In der Addition hatte die 0 die Bedeutung, dass man etwas hatte, aber nichts dazu bekommt bzw. dass man noch nichts hatte und etwas dazu bekommt. Das Resultat ist in diesem Fall äquivalent mit dem, was man schon hatte bzw. mit dem das man dazubekommt.

In der Multiplikation hingegen spielt die Null insofern nur eine Rolle, da man die Häufigkeit von etwas feststellt, dass man nicht hat, demzufolge, bleibt auch das Resultat immer Nichts bzw. eine Null. 5 x 0 bzw. 0 x 5 ist und bleibt gleich Null.

Die 1 beschreibt in der Multiplikation einen fein zu unterscheidenden Sachverhalt. In der Addition entsteht die Zahl 1 durch das plötzliche Feststellen des Vorhandenseins einer Einheit. In der Multiplikation hingegen wird diese Einheit auf ihre Häufigkeit überprüft und ist diese ebenfalls 1 ergibt sich 1 x 1 = 1.

Für die Entstehung der Zahl 2 ergeben sich in der Multiplikation andere Sachverhalte.

In der Addition gab es drei verschiedene Sachverhalte:

1. Man hatte noch nichts und man bekam nachfolgend ein Bündel mit 2 Einheiten dazu.

0 + 2 = 2

2. Man besaß eine Einheit und man bekam noch eine dazu.

1 + 1 = 2

3. Man besaß ein Bündel mit zwei Einheiten, man bekam aber nichts dazu, daher blieb alles wie zuvor.

2 + 0 = 2

In der Multiplikation müssen die Sachverhalte jedoch anders ausgeführt werden, nämlich so, dass man entweder eine Einheit besitzt, die zweimal vorhanden ist (2 x 1 = 2) oder dass man ein Bündel mit zwei Einheiten besitzt, dass eben nur einmal vorhanden ist (1 x 2 = 2).

Interessant bleibt es auch bei der Zahl 3. Diese lässt sich nur in den Rechenoperationen 1 x 3 = 3 oder 3 x 1 = 3 ausdrücken. Zu dem Produkt 3 kommt man nur auf diese beiden Weisen, sofern man als Multiplikatoren und Multiplikanden nur natürliche Zahlen verwendet.

In 1.3 hatte ich bereits den Unterschied der Gleichung 2 x 2 = 4 zur Additionsgleichung 2 + 2 = 4 erläutert. Der Zahl 4 kommt in der Multiplikation eine besondere Bedeutung zu. Sie ist die erste natürliche Zahl, die sich nicht nur aus 1 mit sich selbst multipliziert ergibt, sondern aus zwei anderen Multiplikatoren bzw. Multiplikanden. In diesem Fall ist die Zahl 2 sowohl der Multiplikator als auch der Multiplikand, der für die Bildung der Zahl 4 verantwortlich ist. Die Zahl 1 ließ sich nur aus sich selbst heraus bilden, die Zahlen 2 und 3 nur aus sich selbst heraus und aus der Zahl 1, die Zahl 4 jedoch offeriert eine ganz neue Möglichkeit innerhalb der Multiplikation. Sie lässt sich nicht nur aus 1 und sich selbst erzeugen, sondern zudem aus zwei ihr gegenüber unterschiedlichen Multiplikatoren und Multiplikanden. Ein Sachverhalt der innerhalb des Zahlenteppichs der Multiplikation häufig auftaucht.

So sind die Zahlen 6, 8, 9, 10 und 12 ebenso Zahlen, die sich durch andere Multiplikatoren bzw. Multiplikanden bilden lassen, als nur durch sich selbst oder durch 1.

2 x 3 = 6

2 x 4 = 8

2 x 2 x 2 = 8

3 x 3 = 9

2 x 5 = 10

3 x 4 = 12

2 x 6 = 12

2 x 2 x 3 = 12

Andere Zahlen hingegen entsprechen dem gleichen Sachverhalt wie 2 und 3, sie lassen sich nur durch sich selbst und durch 1 in der Multiplikation bilden. Dazu gehören neben 2 und 3 auch 5, 7, 11 und 13. Solche Zahlen nennt man Primzahlen.

Unter Primzahlen versteht man alle natürlichen Zahlen, die größer als 1 sind und nur durch sich selbst oder 1 teilbar sind.

Die Frage ist nun, wie entstehen diese Primzahlen und warum lassen sie sich in der Multiplikation nicht durch andere natürliche Zahlen bilden. Im Grundprinzip des Zählens erscheinen die Primzahlen als charakterschwache Zahlen. Hier beschreiben sie lediglich die Häufigkeit einer bestimmten Einheit. In der Addition erhalten sie ihren Charakter dadurch, dass Bündel mit einer bestimmten Anzahl von Einheiten zu einem großen Bündel zusammengefügt werden. Abgesehen von der Zahl 2 lassen sich alle Primzahlen nur durch Bündel bilden, von denen mindestens eins eine andere Anzahl an Einheiten hat, als die anderen Bündel. Allerdings muss man dabei beachten, dass mindestens eins der Bündel nicht nur aus der Einheit 1 besteht bzw. nicht nur aus einem Bündel, deren Anzahl an Einheiten der Endsumme entspricht.

In Beachtung dieser Regel lässt sich die Zahl 3 so nur aus einem Bündel mit einer Einheit u...

Inhaltsverzeichnis

• Inhaltsverzeichnis
• Einleitung
• 1. Die Entstehung der Primzahlen
• 2. Das Multiplikationssystem als Zeitsystem
• 3. Die Unendlichkeit
• 4. Ordnung und Unordnung im Primzahlensystem
• 5. Die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge
• Zusammenfassung
• 6. Der Primzahlautomat
• 7. Die Unendlichkeit von Primzahlzwillingen visualisiert
• Schlussbemerkungen
• Impressum