Este libro fue desarrollado a partir de un conjunto de notas de clase sobre la asignatura Procesos estocásticos y Control de Calidad tanto en los programas de Ingeniería como en la Maestría en Estadística de la Universidad del Norte, pero está dirigido a un público amplio. El enfoque empleado en este texto hace énfasis en la aplicación e interpretación de los conceptos básicos de los procesos estocásticos, sin dejar de lado el rigor matemático en las distintas definiciones y resultados incluidos en él.
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1.1.7 Algunas distribuciones especiales de probabilidad
1.2 Procesos estocásticos
1.3 Algunos tipos de procesos estocásticos
1.3.1 Proceso con incrementos independientes
1.3.2 Proceso con incrementos estacionarios
1.3.3 Procesos estacionarios
Ejercicios
1.1 Preliminares
1.1.1σ-álgebras
Es importante resaltar que no todo subconjunto de un espacio muestral es un evento. Para que pueda ser catalogado así, dicho evento debe ser un elemento de un conjunto
que tiene la estructura de σ-álgebra, concepto que se explicará a continuación.
Definición 1.1.1Un sistema
de subconjuntos de un conjunto Ω ≠ ∅se llama σ-ÁLGEBRA(en Ω) si posee las siguientes propiedades:
(a) Ω ∈
(b) Si A∈
, entonces A≔ Ω \ A∈
(c) Si A1, A2, . . .∈
, entonces
La dupla (Ω,
) se llamaESPACIOMEDIBLEy los conjuntos de
se llamanCONJUNTOSMEDIBLES. Los elementos de
se llamanEVENTOS. Todo evento con un solo elemento se llamaEVENTOELEMENTAL.
1.1.2σ-álgebra generada
Ahora, sea I ≠ ∅ cualquier conjunto de índices y
una σ-álgebra en Ω para cada i∈I. De la definición se sigue que el conjunto
también es una σ-álgebra en Ω. Ahora, sea
cualquier sistema de subconjuntos de Ω y Σ el sistema de todas las σ-álgebras
en Ω con
⊆
, entonces
es la σ-álgebra más pequeña que contiene a
, es decir,
.
Definición 1.1.2Sea
un sistema de subconjuntos de un conjunto Ω ≠ ∅. Entonces laσ-álgebra
, definida en (1.1), se llama laσ-ÁLGEBRAGENERADApor
(en Ω). El sistema
se llamaGENERADORde unaσ-álgebra
si se tiene que
=
.
1.1.3σ-álgebra de Borel
Definición 1.1.3La menorσ-álgebra sobreℝque contine todos los intervalos de la forma (−∞, a] con a∈ℝse llamaσ-ÁLGEBRADEBORELy se denota por
