Procesos estocásticos con aplicaciones

Rodrigo Barbosa, Humberto llinas

• Publisher: Universidad del Norte
• Year: 2018
• ISBN:
  9789587419399
• Edition: 1
• Topic: Matemáticas
• Subtopic: Probabilidad y estadística

Este libro fue desarrollado a partir de un conjunto de notas de clase sobre la asignatura Procesos estocásticos y Control de Calidad tanto en los programas de Ingeniería como en la Maestría en Estadística de la Universidad del Norte, pero está dirigido a un público amplio. El enfoque empleado en este texto hace énfasis en la aplicación e interpretación de los conceptos básicos de los procesos estocásticos, sin dejar de lado el rigor matemático en las distintas definiciones y resultados incluidos en él.

CAPÍTULO 1

Introducción a los procesos estocásticos

Contenido

1.1 Preliminares

1.1.1 σ-álgebras

1.1.2 σ-álgebra generada

1.1.3 σ-álgebra de Borel

1.1.4 Espacios de probabilidad

1.1.5 Probabilidades condicionales

1.1.6 Variables aleatorias

1.1.7 Algunas distribuciones especiales de probabilidad

1.2 Procesos estocásticos

1.3 Algunos tipos de procesos estocásticos

1.3.1 Proceso con incrementos independientes

1.3.2 Proceso con incrementos estacionarios

1.3.3 Procesos estacionarios

Ejercicios

1.1 Preliminares

1.1.1 σ-álgebras

Es importante resaltar que no todo subconjunto de un espacio muestral es un evento. Para que pueda ser catalogado así, dicho evento debe ser un elemento de un conjunto

que tiene la estructura de σ-álgebra, concepto que se explicará a continuación.

Definición 1.1.1 Un sistema

de subconjuntos de un conjunto Ω ≠ ∅ se llama σ-ÁLGEBRA (en Ω) si posee las siguientes propiedades:

(a) Ω ∈

(b) Si A ∈

, entonces A ≔ Ω \ A ∈

(c) Si A₁, A₂, . . . ∈

, entonces

La dupla (Ω,

) se llama ESPACIO MEDIBLE y los conjuntos de

se llaman CONJUNTOS MEDIBLES. Los elementos de

se llaman EVENTOS. Todo evento con un solo elemento se llama EVENTO ELEMENTAL.

1.1.2 σ-álgebra generada

Ahora, sea I ≠ ∅ cualquier conjunto de índices y

una σ-álgebra en Ω para cada i ∈ I. De la definición se sigue que el conjunto

también es una σ-álgebra en Ω. Ahora, sea

cualquier sistema de subconjuntos de Ω y Σ el sistema de todas las σ-álgebras

en Ω con

⊆

, entonces

es la σ-álgebra más pequeña que contiene a

, es decir,

.

Definición 1.1.2 Sea

un sistema de subconjuntos de un conjunto Ω ≠ ∅. Entonces la σ-álgebra

, definida en (1.1), se llama la σ-ÁLGEBRA GENERADA por

(en Ω). El sistema

se llama GENERADOR de una σ-álgebra

si se tiene que

=

.

1.1.3 σ-álgebra de Borel

Definición 1.1.3 La menor σ-álgebra sobre ℝ que contine todos los intervalos de la forma (−∞, a] con a ∈ ℝ se llama σ-ÁLGEBRA DE BOREL y se denota por

. Los elementos de

se llaman CONJUNTOS DE BOREL.

Ya que

es un...