Los gráficos existenciales peirceanos. Sistemas de lógicas diagramáticas de continuo: hirosis, tránsitos, reflejos, fondos

Fernando Zalamea

• Éditeur: Universidad Nacional de Colombia
• Année: 2010
• ISBN:
  9789587750973
• Sujet: Mathematics
• Sous-sujet: Mathematics General

Esta monografía presenta por vez primera en el espectro internacional una reflexión crítica sobre los gráficos existenciales peirceanos. Considerados por Peirce como su "obra maestra ", los gráficos reflejan toda su arquitectónica pragmática e introducen, de manera sumamente original, reglas uniformes para entender el tránsito entre lógicas tan diversas como el cálculo proposicional, la lógica de primer orden y las lógicas modales. El fondo semántico de las reglas se aborda aquí desde áreas centrales de la matemática: teoría de categorías, topología, variable compleja. La horosis (estudio de los bordes del saber) adquiere en los gráficos peirceanos una muy variada riqueza, matemática, filosófica, lógica, semiótica y sistémica.

CAPÍTULO 1

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EL LUGAR DE LOS GRÁFICOS EXISTENCIALES
EN UNA LÓGICA DEL CONTINUO.
HOROSIS, TRÁNSITOS, REFLEJOS, FONDOS

Los gráficos existenciales de Peirce pueden considerarse como una de las invenciones más originales y profundas de la historia de la lógica. Su originalidad es producto de la emergencia de los gráficos como instrumentario solidario y coherente de la arquitectónica peirceana, instrumentario con el cual ayudan a precisarse algunas de las preguntas mayores del sistema filosófico de Peirce (continuidad, semiosis, pragmatismo, teorías del flujo y del tránsito). Su profundidad se debe a una combinación excepcional de sencillez sintáctica (reglas elementales de formación), de plasticidad pragmática (reglas universales de deformación) y de explosiva riqueza semántica (modelos sofisticados en topología, lógicas del continuo, variable compleja y teoría de categorías), una riqueza insospechada por el mismo Peirce pero estrechamente ligada a sus tendencias topológicas y estructurales avant la lettre. Nuestro cometido en esta monografía consistirá en intentar develar, con suficiente detenimiento, esa originalidad y esa profundidad. Estaremos atentos, por tanto, a tres tareas centrales: (i) explicitar algunos reflejos y tránsitos entre la arquitectónica global del sistema peirceano y sus concreciones locales en los gráficos; (ii) describir diversos enlaces sintaxis/pragmática en la conformación de los gráficos, con los cuestionamientos epistemológicos que ello implica, en particular, la emergencia natural de una honda noción de horosis (término debido a Roberto Perry, de horos, borde, límite), método medio entre análisis y síntesis; (iii) explorar la riqueza sorprendente de los fondos matemáticos estructurales implícitos en los gráficos, gracias a muy diversos modelos parciales (semántica) ligados a problemas de representación.

Dos tendencias opuestas en la recepción de la obra de Peirce han creído encontrar en los escritos peirceanos, por un lado, un cúmulo de reflexiones asistemáticas, tan diversas como imaginativas y desordenadas, y, por otro lado, una arquitectónica compleja, eminentemente inacabada, pero con claras fuerzas y estructuras de sostén en su ordenamiento racional. Sin entrar en un difícil debate que no nos concierne aquí, adoptaremos de entrada la hipótesis de que la obra de Peirce puede entenderse desde un punto de vista arquitectónico, a pesar de ciertas inevitables lagunas dentro de la armazón del sistema. Uno de nuestros objetivos centrales (combinación de fragmentos de las tareas (i)- (iii) recién señaladas) consiste, de hecho, en consolidar los andamiajes de acoplamiento para la arquitectónica peirceana gracias a sus reflejos en el ámbito de los gráficos existenciales, y gracias a la introducción de herramientas de la matemática contemporánea (lógicas no clásicas, teoría de categorías, haces, variable compleja) en la modelización parcial de esos reflejos. Se tratará, como veremos, de un andamiaje distanciado de los fundamentos (y alejado por tanto de las tendencias analíticas de la teoría clásica de conjuntos), que realza una serie de entrelazamientos estructurales en el edificio, y que permite situarlo como “a castle in the air” [Murphey 1961, p. 407], sin demeritar por ello la solidez y el rigor requeridos en la elevación de la arquitectura. Prosiguiendo con la metáfora de Murphey, el sistema peirceano merece entenderse en realidad, no como una construcción con fundamentos verticales, al estilo de la Tour Eiffel, propia de los comienzos del siglo XX, sino como una estructura repleta de enlaces transversales horizontales, al estilo de la Mediateca de Sendai de Toyo Ito, “a castle in the air” translúcido y sin fundamentos, propio de los comienzos del siglo XXI.

Recordamos brevemente ahora algunas de las características básicas de los gráficos existenciales peirceanos, para poder proceder a una discusión “desde lo alto” en este capítulo. Los capítulos 2-5 proveerán luego muchas precisiones sobre los diversos sistemas de gráficos y asegurarán un estudio detenido “desde lo bajo”. Los gráficos existenciales cubren, a la manera pragmática, tanto el cálculo proposicional clásico (gráficos existenciales ALFA) y la lógica clásica de primer orden sobre un lenguaje puramente relacional (gráficos existenciales BETA), como cálculos modales intermedios, lógica clásica de segundo orden y manejos del metalenguaje (gráficos existenciales GAMA). Sobre una hoja de aserción en blanco, mediante precisas reglas de control, se demarcan algunos cortes posibles, a través de los cuales se introduce, se elimina y se transmite información. La idea básica de Peirce consiste en que el conocimiento se obtiene mediante cortes y traslados de información (obstrucciones y tránsitos), gracias a diversas correlaciones entre distintas regiones del saber. Las marcas que se van consignando en la hoja de aserción permiten que la información lógica evolucione de lo indeterminado a lo determinado, gracias a la incorporación técnica de un lenguaje gráfico formal, reglas y axiomas (ver [Roberts 1963], [Zeman 1963], [Oostra 2011]), resumidos concisamente en la siguiente figura:

Mediante los gráficos existenciales, Peirce consigue definir acotadamente, en lo local, ciertas tendencias centrales de su pensamiento. La idea misma de construir reflejos de lo global (arquitectónica) en lo local (gráficos) es una consecuencia inmediata del entrelazamiento transversal entre los arcos estructurales del sistema peirceano (máxima pragmaticista, tres categorías, semiótica universal, adjunción indeterminación/determinación, clasificación triádica de las ciencias), un entrelazamiento que jerarquiza naturalmente el gran edificio en distintas regiones y niveles que se comunican sin cesar. Los sistemas de gráficos existenciales, que Peirce consideraba como su chef d’oeuvre (carta a Jourdain, diciembre 5 1908, [Roberts 1973, p. 110], [NEM 3,885]), reflejan icónicamente algunos de los cruces transversales más sorprendentes y fructíferos de su sistema filosófico. De hecho, la hoja de aserción ALFA, hoja continua sobre la que se marcan los gráficos existenciales, sirve de ícono para reflejar la continuidad de lo real (terceridad), mientras que la línea de identidad BETA, trazo continuo que abre la posibilidad de cuantificar sobre lo real, sirve de ícono para reflejar la continuidad de la existencia (segundidad). De esta manera, por ejemplo, un continuo real, tercero, puede pensarse, postularse y conocerse, antes mismo de que ciertas marcas de existencia segunda empiecen siquiera a imaginarse. Por otro lado, las reglas fundamentales que subyacen en la radical novedad de los gráficos -las reglas de iteración/desiteración- son concreciones técnicas de la gran maquinaria de ósmosis transversales propias del pensamiento peirceano, incesantemente transdisciplinario y a menudo brillantemente original gracias a la traslación de conceptos entre disciplinas diversas. Finalmente, los axiomas para los gráficos muestran que la existencia (línea de identidad) es, simultáneamente, un quiebre de continuidad en lo real general (hoja de aserción en blanco), así como una ligazón continua en lo particular (extremos de las líneas de identidad). Las líneas de identidad, subreflejos continuos de la hoja de aserción, al marcarse autorreflexivamente en el continuo general, permiten construir el paso de la esencia a la existencia. Los axiomas elementales de los sistemas básicos de gráficos existenciales sustentan así la idea -central en filosofía (presocráticos, Peirce, Heidegger)- de que una primera autorreflexión de la nada sobre la nada es la chispa inicial que genera la evolución del conocimiento.

Peirce señalaba, con toda justicia, que los gráficos existenciales proporcionaban una plena apología del pragmaticismo. Sobre el continuo peirceano, entendido como espacio general de las posibilidades puras ([Zalamea 2001], [Havenel 2006], [Moore 2010]), se construye en efecto el conocimiento por medio de procesos de acción-reacción universales: inserción/extracción, iteración/desiteración, dialéctica sí/no. Una plena apología del pragmaticismo se obtiene al observar que la axiomatización del cálculo proposicional clásico y de la lógica clásica de primer orden puramente relacional, con las mismas reglas, por medio de los sistemas Alfa y Beta, explicita raíces técnicas comunes desapercibidas en las presentaciones actuales de la lógica clásica. En efecto, las mismas reglas detectan, en el contexto del lenguaje ALFA, un manejo proposicional, y en el contexto extendido del lenguaje BETA, un manejo cuantificacional: algo incomprensible para cualquier estudiante de lógica educado dentro de sistemas del tipo Hilbert. Así -acorde tanto con la máxima pragmaticista como con el realismo peirceano- los cálculos Alfa y Beta muestran que existe un núcleo, un real general que subyace a la transmisión lógica de información, un núcleo que, en ciertos contextos de simbolización, da lugar a los modos clásicos de conexión, y que, en otros contextos, da lugar a los modos clásicos de cuantificación. Las reglas de iteración/desiteración codifican la naturalidad de los operadores lógicos tradicionales; como veremos más adelante, no se trata sólo de una naturalidad filosófica, sino de la naturalidad propia (y técnicamente bien definida) de los transmisores fundamentales de información de la teoría matemática de categorías. Las raíces comunes de los conectivos y los cuantificadores clásicos se revelan en un mismo accionar-reaccionar pragmático, global y general, que en diversos contextos de simbolización da lugar a reglas derivadas, locales y particulares, propias del contexto.

Esta situación es toda una revelación en la historia de la lógica, aún no plenamente apreciada; en cualquier caso, constituye, de manera precisa, la única presentación conocida de los cálculos clásicos que utiliza globalmente las mismas reglas axiomáticas para controlar el manejo local de los conectivos y de los cuantificadores. A su vez, la apología del pragmaticismo conseguida con los gráficos existenciales (reflejo local) muestra la coherencia del sinequismo (arquitectónica global). Las reglas, aparentemente discretas, de los conectivos y los cuantificadores clásicos se corresponden continuamente sobre un fondo genérico común; sus aparentes diferencias sólo son contextuales y pueden verse como quiebres de la continuidad lógica subyacente. Pero aún más allá del ámbito clásico, como lo indicaremos repetidas veces en esta monografía, se tienen también apoyos matemáticos para sustentar que el sinequismo tiene un rango de validez más amplio, englobando formas alternativas del continuo lógico (continuo intuicionista, continuo categórico y continuo peirceano).

La horosis, consideración de los bordes y límites del saber, debe servir de mediadora entre análisis y síntesis. Entre descomposición (análisis) y composición (síntesis), las formas medias de transición entre lo elemental y lo relacional gobiernan a menudo muchos de los más importantes movimientos del pensamiento. En particular, los momentos de emergencia creativa, aún vagos, aún en transición pendular entre lo descompuesto y lo estructurado, forman parte de lo que debería ser un pensamiento horótico muy general. En los gráficos existenciales, muy diversas formas de horosis entran en juego. La página en blanco, al ser progresivamente marcada, es testigo de la emergencia de ciertas verdades lógicas. Los cortes son signos icónicos del horos (borde) mismo; no sólo los cortes ALFA sirven de delimitadores y extralimitadores (embrión estructural para las reglas de desiteración e iteración), sino que los cortes GAMA, con su amplitud de lecturas modales, sirven precisamente como signos mixtos de tránsito (al medio completarse hacia una cesura, es decir, al convertirse en corte ALFA en una región impar, o al medio borrarse hacia una contingencia, es decir, al provenir de un corte ALFA en una región par). La iteración/desiteración de la línea de identidad BETA es el paradigma de un proceso de continuidad, pero, al cruzar los cortes ALFA, la iteración/desiteración de la línea entra en un crucial proceso de horosis, que (como es sabido en BETA, ver capítulo 3) corresponde a la explicitación, en el lenguaje gráfico, de diversas formas normales para los cuantificadores. El manejo mismo de los gráficos, a través de sus reglas de formación/deformación, conforma otra expresión profunda, y sumamente original, de horosis: un enlace medio entre sintaxis (lenguaje) y pragmática (reglas), independiente de las semánticas subyacentes. La potencia gráfica y formal de los bordes (cortes ALFA y GAMA) y de los límites (línea de identidad BETA) asegura la vida, emergencia y evolución de los signos, independientemente de posteriores interpretaciones.

Entre el análisis y la síntesis, en el ámbito de la horosis, se sitúan los gráficos existenciales. Introducidos explícitamente por Peirce como instrumentos finos de análisis -“(...) a method for representing propositions (1) as simple as possible (...), (2) as iconically, or diagrammatically and (3) as analytically as possible” [c. 1905; CP 4.561]- los gráficos existenciales involucran también en realidad (i) en el último Peirce, una labor de síntesis del saber lógico, fruto de la directriz pragmática de sus reglas, (ii) en las semánticas posteriores de los gráficos, un proceder sintético naturalmente acorde con el proceder de la teoría de categorías (ver capítulos siguientes). Los gráficos existenciales proporcionan, además, una sofisticada red de mediaciones entre aparentes polaridades del pensamiento matemático. Al basarse sobre una cómoda intuición visual, sobre una flexible capacidad teoremática (prontas equivalencias diagramáticas, alejadas de artificiales manipulaciones lineales) y sobre una evidenciable facilidad práctica (labores en la Universidad del Tolima, donde, comparando dos desarrollos paralelos de los cálculos proposicionales, vía gráficos existenciales y vía sistemas de tipo Hilbert, Arnold Oostra ha logrado obtener una mayor plasticid...