Álgebra en todas partes

José Antonio Peña

• Éditeur: Fondo de Cultura Económica
• Année: 2019
• ISBN:
  9786071634634
• Sujet: Mathematics
• Sous-sujet: Algebra

Aunque algunos temas de álgebra le serán ya familiares al lector, como el teorema de Pitágoras, otros constituirán una novedad, y así encontrará, entre otros apasionantes temas, un estudio de la teoría de los autómatas y la relación que esto guarda con la derrota del campeón de ajedrez Kasparov "a manos" de una computadora; y una explicación de la demostración del último teorema de Fermat, acerca de la que escribieron todos los periódicos del mundo en 1994, entre otros apasionantes temas.

IX. Algunos algebristas
y sus teoremas

Penetran en un país de maravillas.
Soñando mientras pasan los días,
soñando mientras mueren los estíos.

Alicia a través del espejo, LEWIS CARROLL

A LO largo de este libro hemos encontrado los nombres de algunos personajes que han contribuido de manera importante al desarrollo de las ideas y técnicas matemáticas, en particular del álgebra. Pitágoras, Diofanto, Cardano, Descartes, Fermat, Euler, Gauss, Galois y algunos otros que nos son ya en mayor o menor medida familiares, son algunos de los nombres centrales en la historia de las matemáticas, pero no sólo ellos han hecho aportaciones notables al álgebra. Algunos no han sido mencionados por la particular selección de temas que hemos hecho, o la forma como presentamos algunos capítulos. Viète, Jacobi, Bézout, Abel, Lagrange, Sylvester, Hamilton, Cayley, Jordan, Kummer, Frobenius, Dedekind, Kronecker, Hilbert, Lie, Noether, Steinitz, Weyl, Cartan, Pierce, Artin, Weil, son de primera importancia en cualquier historia del álgebra. También las contribuciones de matemáticos como Newton, Leibniz, Lagrange, Weierstrass, Klein, Poincaré son importantes en álgebra (aunque sus contribuciones principales se hayan dado en otros campos de las matemáticas).

Por su naturaleza, los resultados matemáticos no dependen de los contextos históricos o del carácter o ideología del matemático que los demuestra. Sin embargo, en este capítulo queremos presentar algunos datos de la vida de algunos de los algebristas importantes y algunos de los teoremas que los hicieron famosos. Antes queremos enfrentar las siguientes interrogantes: ¿qué hubiera pasado de no haber nacido Fermat?, ¿qué sería de las matemáticas si Gauss hubiera sido médico o carpintero? En una sola pregunta: ¿hasta qué grado depende el desarrollo de las matemáticas de los matemáticos que las hacen?

Por supuesto, no hay respuesta definitiva a estas preguntas y cualquier cosa que se diga es una simple especulación. Pero seré breve en mi especulación. Creo que si Fermat o Gauss (u otros matemáticos) no hubiesen hecho sus importantes contribuciones a la ciencia, las matemáticas serían esencialmente las mismas que conocemos hoy en día. Esto no quiere decir que su trabajo no fue importante, quiere decir que los descubrimientos que ellos hicieron hubieran sido hechos por otros matemáticos algunos años después. Hay dos razones que considero poderosas para creer esto:

a) Los resultados en las matemáticas se descubren. Si ahondamos históricamente en las raíces de los principales resultados matemáticos llegaremos siempre a preguntas relacionadas con el mundo real, con el comportamiento de la naturaleza. Para explicar o generalizar algunas de las propiedades observadas en el mundo real, los matemáticos desarrollan conceptos y definen estructuras matemáticas abstractas (por ejemplo, la noción de grupo, la noción de matriz). Para un matemático las estructuras abstractas tienen una realidad propia, y el matemático las investiga sistemáticamente, casi como un biólogo investigaría un animal. Por ello, las preguntas que el matemático se hace ...