Dieu est-il mathématicien ?

Mario Livio

• Éditeur: Odile Jacob
• Année: 2016
• Imprimer l'ISBN: 9782738134745
• ISBN de l'eBook: 9782738159359
• Sujet: Mathématiques
• Sujet: Dissertations mathématiques

Dieu est-il mathématicien? Le grand mystère des mathématiques est leur stupéfiante adéquation au monde dans lequel nous vivons. Non seulement elles décrivent avec une incroyable précision les phénomènes physiques, mais elles parviennent aussi, via la statistique, à simuler les comportements les plus « humains » qui soient. À cette « déraisonnable efficacité des mathématiques dans l'explication des phénomènes naturels » s'ajoute un autre mystère : comment se fait-il que des raisonnements abstraits, complètement étrangers à notre réalité, finissent toujours par trouver une application ? Faut-il en conclure, comme les platoniciens, qu'il existe une réalité mathématique distincte de la nôtre, ou, comme les constructivistes, que les mathématiques progressent et évoluent en fonction de nos besoins ? De Pythagore et Euclide à Descartes, de Newton à Einstein, tous les mathématiciens se sont un jour posé cette question. Et l'on est passé d'un « Dieu mathématicien », encore présent chez George Boole, père de la logique mathématique, à un Homo mathematicus façonné par l'évolution et capable d'appréhender le réel avec des outils mathématiques de plus en plus sophistiqués. C'est cette histoire pleine de rebondissements inattendus que raconte Mario Livio, avec force citations surprenantes qui montrent que les mathématiques, loin d'être une activité désincarnée réservée à quelques happy few, procèdent d'une démarche accessible à tous. Mario Livio, astrophysicien, est directeur de recherches au Space Telescope Science Institute et travaille sur les résultats du télescope spatial Hubble. Il est l'auteur de plusieurs ouvrages à succès sur l'astrophysique et les mathématiques. 

CHAPITRE 1

Un mystère

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Il y a quelques années, j’ai donné une conférence à l’Université Cornell. Sur ma présentation PowerPoint, on pouvait lire : « Dieu est-il mathématicien ? » Un étudiant assis au premier rang s’exclama : « Mon Dieu, j’espère que non ! »

Ma question n’était ni une tentative philosophique de définir Dieu, ni une intimidation dirigée contre les illettrés mathématiques. Je ne faisais que formuler un mystère qui obsède depuis des siècles les esprits les plus originaux – l’omniprésence et l’omnipotence des mathématiques… qualités ordinairement réservées aux dieux. Comme l’écrivit le physicien britannique James Jeans (1877-1946)1 : « L’Univers semble avoir été conçu par un mathématicien. » De fait, les mathématiques semblent presque trop efficaces pour décrire et expliquer, non seulement le cosmos en général, mais aussi certaines des actions humaines a priori les moins formalisables.

Qu’il s’agisse de physiciens cherchant à formuler des théories sur l’Univers, d’analystes de marché tentant de prédire le prochain krach boursier, de neurobiologistes modélisant les fonctions du cerveau ou de statisticiens du renseignement militaire optimisant l’allocation des ressources, tous utilisent les mathématiques. De plus, même s’ils appliquent des formalismes développés dans diverses branches des mathématiques, ils se réfèrent tous aux mêmes mathématiques. Qu’est-ce qui donne aux mathématiques leur incroyable puissance ? Ou plutôt, comme Einstein s’en étonna : « Comment se fait-il que les mathématiques, produits d’une pensée humaine indépendante de l’expérience (c’est moi qui souligne), décrivent si bien la réalité physique2 ? »

Cet étonnement n’est pas nouveau. Certains philosophes de l’Antiquité, dont Pythagore et Platon, s’émerveillaient déjà de la capacité des mathématiques à structurer et gouverner l’Univers, bien au-delà des pouvoirs qu’a l’homme de le modifier, de le diriger ou de l’influencer. Le philosophe politique anglais Thomas Hobbes (1588-1679) ne cachait pas non plus sa stupéfaction. Dans le Léviathan, remarquable vision de ce qu’il considérait comme le fondement de la société et du gouvernement, il soulignait le rôle de la géométrie comme paradigme de l’argument rationnel3 :

Étant donné que la vérité consiste à ordonner correctement les dénominations dans nos affirmations, un homme qui cherche l’exacte vérité doit se souvenir de ce que signifie chaque dénomination qu’il utilise, et il doit la placer en conséquence, ou sinon, il se trouvera empêtré dans les mots, comme un oiseau dans les gluaux, [et] plus il se débattra, plus il sera englué. Et donc, en géométrie (qui est la seule science jusqu’ici qu’il a plu à Dieu d’octroyer à l’humanité), les hommes commencent par asseoir le sens de leurs mots, ce qu’ils appellent définitions, et ils les placent au commencement de leur calcul.

Des millénaires de recherche mathématique et de spéculation philosophique érudite n’ont guère éclairé l’énigme de la puissance des mathématiques. D’une certaine façon, le mystère s’est même approfondi. Le fameux physicien et mathématicien d’Oxford Roger Penrose, par exemple, perçoit un triple mystère. Il identifie trois « mondes » différents4 : le monde de notre perception consciente, le monde physique et le monde platonicien des formes mathématiques. Le premier est celui de nos images mentales – comment nous percevons les visages de nos enfants, comment nous apprécions un sublime coucher de soleil, ou comment nous réagissons à d’horribles images de guerre. C’est également le monde de l’amour, de la jalousie et de la souffrance, aussi bien que celui de notre perception de la musique, de l’odeur et du goût de la nourriture, ou de la peur. Le deuxième monde est celui de la réalité physique, des fleurs, des cachets d’aspirine, des nuages et des avions, comme des galaxies, des planètes, des cœurs de babouins et des cerveaux humains. Le troisième, le monde platonicien des formes mathématiques, est pour Penrose aussi réel que les deux précédents. On y trouve les nombres 1, 2, 3, 4, …, toutes les formes et les théorèmes de la géométrie euclidienne, les lois newtoniennes du mouvement, la théorie des cordes, la théorie des catastrophes et les modèles mathématiques de la finance. Et voici, selon Penrose, les trois mystères. D’abord, le monde de la réalité physique semble obéir à des lois issues du monde des formes mathématiques. C’est ce qui laissait Einstein perplexe. Le prix Nobel Eugene Wigner (1902-1995)5 était tout autant stupéfait :

Que le langage des mathématiques soit si approprié à exprimer les lois de la physique est un miracle, et un merveilleux cadeau que nous ne comprenons ni ne méritons. Nous devrions en être reconnaissants, et espérer qu’il continuera à se manifester à l’avenir et qu’il s’étendra, pour le meilleur et pour le pire, pour notre plaisir, et parfois aussi pour notre affliction, à d’autres branches du savoir.

Ensuite, l’esprit qui perçoit – le lieu de nos perceptions conscientes – est lui-même issu du monde physique. Comment l’esprit est-il né de la matière ? Saura-t-on un jour formuler une théorie de la conscience aussi cohérente et convaincante que, par exemple, la théorie de l’électromagnétisme ? Finalement, le cercle se referme mystérieusement. L’esprit qui perçoit a été miraculeusement capable d’accéder au monde mathématique en découvrant, ou en créant, un trésor de formes et de concepts mathématiques abstraits.

Penrose ne résout aucun des trois mystères. Il conclut laconiquement : « Il est évident qu’en réalité il n’y a pas trois mondes mais un seul, dont la vraie nature nous échappe. » Cet aveu est bien plus humble que la réponse du maître d’école dans la pièce Forty Years On d’Alan Bennett à une question plus ou moins similaire :

Foster. – Je n’ai pas bien compris la Trinité, monsieur.

Le maître d’école. – Trois en un, un en trois, tout simplement. Si cela vous pose des problèmes, voyez votre prof de maths.

Le puzzle est même bien plus complexe que ce que je viens d’indiquer. Il y a en fait deux faces aussi troublantes l’une que l’autre au succès des mathématiques dans l’explication du monde naturel (Wigner parlait de « la déraisonnable efficacité des mathématiques »). D’abord, l’aspect que l’on pourrait qualifier d’« actif ». Quand un physicien explore le labyrinthe de la nature, il éclaire son chemin par les mathématiques : les outils qu’il utilise et développe, les modèles qu’il construit et les explications qu’il forge sont tous de nature mathématique. Cela, à soi seul, est un vrai miracle. Newton a observé une pomme qui tombe, la lune et les marées (mais je ne suis pas sûr qu’il soit jamais allé au bord de la mer), pas des équations mathématiques. Pourtant, il a pu extraire de tous ces phénomènes naturels des lois mathématiques claires, concises et incroyablement précises. De même, quand le physicien écossais James Clerk Maxwell (1831-1879) a étendu le cadre de la physique classique à tous les phénomènes électriques et magnétiques connus dans les années 1860, il l’a fait avec seulement quatre équations. Songez-y. L’explication d’une multitude de faits touchant à l’électromagnétisme et à la lumière, domaines qui jusque-là remplissaient des livres entiers, était réduite à quatre petites équations. La relativité générale d’Einstein est plus fascinante encore – le modèle parfait d’une théorie mathématique pleinement cohérente et extraordinairement précise de quelque chose d’aussi fondamental que la structure de l’espace et du temps.

Mais il y a aussi une face « passive » à la mystérieuse efficacité des mathématiques, face si surprenante que la précédente ne tient pas la comparaison. Les concepts et les relations explorés par les mathématiciens sans aucune application particulière en vue finissent, parfois des décennies ou des siècles plus tard, par se révéler être des solutions inattendues à des problèmes ancrés dans la réalité physique ! Comment est-ce possible ? Prenez par exemple le cas de l’excentrique mathématicien britannique Godfrey Harold Hardy (1877-1947). Il était si fier de faire des mathématiques « pures » qu’il déclara : « Aucune de mes découvertes n’aura le moindre impact, directement ou indirectement, en bien ou en mal, sur la vie des gens6. » Il avait tort. Une de ses productions est devenue la loi de Hardy-Weinberg7, utilisée par les généticiens pour étudier l’évolution des populations. En deux mots, cette loi stipule que si une grande population se croise (se reproduit) au hasard, hors de toute migration, mutation ou sélection, son patrimoine génétique restera le même d’une génération à l’autre. Même les travaux très abstraits de Hardy sur la théorie des nombres – l’étude des propriétés des nombres naturels – ont trouvé des applications inattendues. Le mathématicien britannique Clifford Cocks8 les a utilisés en cryptographie, pour la mise au point des codes secrets, faisant ainsi mentir Hardy une deuxième fois. Dans son Apologie d’un mathématicien, publiée en 1940, il avait écrit : « Personne n’a encore découvert d’usage guerrier à la théorie des nombres ou à la relativité générale. » Or les codes jouent aujourd’hui un rôle essentiel dans les communications militaires. Ainsi, même Hardy, grand ennemi de la science appliquée, a été « mené » (certes pas de son plein gré) à produire des théories mathématiques utiles.

Et il ne s’agit là que de la partie émergée de l’iceberg. Kepler et Newton ont découvert que les planètes du Système solaire suivent des trajectoires elliptiques. Or, l’ellipse a été décrite deux millénaires plus tôt par le mathématicien grec Ménechme (v. 350 av. J.-C.). Les nouvelles géométries introduites par Bernhard Riemann (1826-1866) dans une fameuse conférence de 1854 se sont révélées être exactement ce dont Einstein avait besoin pour décrire son espace-temps. Le langage mathématique (la théorie des groupes) inventé par le jeune prodige Évariste Galois (1811-1832) pour déterminer la solvabilité des équations algébriques est devenu le langage des physiciens, des ingénieurs, des linguistes et même des anthropologues, pour décrire les symétries fondamentales du monde9. De plus, le concept de symétrie a totalement bouleversé le monde scientifique. Pendant des siècles, la compréhension du cosmos est passée par la collecte de faits expérimentaux ou observationnels à partir desquels, par essais et erreurs, on tentait de formuler les lois de la...

Table des matières

• Couverture
• Titre
• Copyright
• Dédicace
• Préface
• CHAPITRE 1 - Un mystère
• CHAPITRE 2 - Mystiques : le numérologue et le philosophe
• CHAPITRE 3 - Magiciens : le maître et l’hérétique
• CHAPITRE 4 - Magiciens : le sceptique et le géant
• CHAPITRE 5 - Statisticiens et probabilistes : la science de l’incertain
• CHAPITRE 6 - Géomètres : le choc du futur
• CHAPITRE 7 - Logiciens : penser la raison
• CHAPITRE 8 - Une efficacité déraisonnable ?
• CHAPITRE 9 - L’esprit humain, les mathématiques et l’Univers
• Bibliographie
• Crédits
• Table
• Du même auteur
• Index