Qu'est-ce que la vie ?

(Volume 1)

Yves Michaud

• Éditeur: Odile Jacob
• Année: 2006
• Imprimer l'ISBN: 9782738108555
• ISBN de l'eBook: 9782738178985
• Sujet: Sciences biologiques
• Sujet: Biologie

Les plus grands spécialistes français sont réunis dans ce volume. Ils éclairent les questions majeures que pose la vie, notamment sa définition, l'évolution, les grandes étapes du développement humain, la connaissance du cerveau et du comportement. Philippe Ascher, Étienne-Émile Baulieu, Alain Berthoz, Pierre Boistard, Alain-Michel Boudet, Jacques Bouveresse, André Brack, Pierre Cartier, Jean-Pierre Changeux, Bernard Chevassus, Claudine Cohen, Claude Combes, Vincent Courtillot, Antoine Danchin, Jean Dénarié, Bernard Dutrillaux, Anne Fagot-Largeault, René Frydman, Jean Gayon, Gilles Gaston Granger, Gilbert Hottois, Olivier Houdé, Louis-Marie Houdebine, François Jacob, Marc Jeannerod, Sylvie Joussaume, Roland Jouvent, Michel Jouvet, Axel Kahn, Pierre Karli, André Langaney, Bernard Mazoyer, Daniel Metzger, Jean-Claude Mounolou, Daniel Parrochia, Alain Prochiantz, Jean-Paul Renard, Bernard Roques, Serge Stoléru, Jean Weissenbach.

III

PREMIÈRE ÉTAPE DE RÉFLEXION ET DE CRITIQUE : LE SAVOIR, LA TECHNIQUE ET L’ÉTHIQUE

---

---

Mathématiques et réalité*1

---

par PIERRE CARTIER

Hasardons l’énoncé d’une thèse concernant l’objet des mathématiques ; elle risque de surprendre les spécialistes, mais peut-être moins les non-mathématiciens. On a beaucoup disserté sur le sens, les fondements, la réalité des mathématiques. Il me semble que l’un des objets des mathématiques est d’abord de découvrir des symétries et des régularités, depuis les plus élémentaires : s’apercevoir, par exemple, que dans trois cailloux ou trois feuilles, c’est toujours le même « trois ». On sait bien, par l’étude du cheminement historique, qu’un concept abstrait, tel celui du nombre « 3 », a mis très longtemps à se dégager, à partir d’un certain nombre de régularités vécues ou observées dans la nature.

Mais, en retour, l’un des enjeux des mathématiques, l’un des produits de cette activité est de créer un ordre et des symétries nouvelles que nous imposons au monde qui nous entoure, en copiant les symétries naturelles et en se superposant à elles. Il suffit d’observer un paysage, en vue aérienne ou satellitaire, pour s’apercevoir que l’un des résultats de l’activité humaine a été de créer des symétries qui n’étaient pas présentes dans la nature : des routes, des lacs artificiels, de grandes cultures, etc. Nous imposons, d’une certaine manière, à notre environnement, un ordre que nous avons appris à déceler dans la nature.

Je vais donc essayer d’étudier cette boucle de rétroaction, une « boucle de rétroaction », entre, un certain réel, et les mathématiques.

Dans leur premier mouvement, les mathématiques ont pour objet d’épurer, d’imiter ou d’interpréter le réel. Une théorie mathématique est une image intellectuelle. Les nombres mathématiques « 1 », « 2 », « 3 », ne sont que des représentations, sur le papier, ou sur d’autres supports, d’une idée abstraite, qui est une image. Cette image n’est pas un décalque servile de la réalité, de même qu’une peinture n’est pas un décalque servile de l’objet représenté. Les figures de la géométrie sont des images. J’en prends un exemple dans une édition moderne d’Euclide : la démonstration du théorème de Pythagore par tracé d’une figure (Fig. 1). Ceci peut aller très loin, et je montrerai tout à l’heure comment la physique contemporaine fait un large usage de figures symboliques, qui sont des images de concepts abstraits.

Figure 1

Dans un sens opposé, du réel vers les mathématiques, le réel — tout au moins quand nous lui imposons un ordre mathématique— réalise et imite les mathématiques dans des constructions artificielles. Une horloge astronomique, par exemple, ce bel objet hérité des siècles passés que l’on peut admirer dans certaines grandes églises, à Strasbourg par exemple, ne nous donne pas le mouvement céleste. C’est un objet artificiel, une construction artificielle, qui exprime ce retour : l’observation a décelé dans les mouvements des astres de grandes régularités, et la théorie mathématique s’incarne à son tour dans un objet qui est un calque, une imitation de ce qui se passe en réalité. C’est ce que le scientifique appelle un « modèle ». On peut voir un exemple de cette rétroaction des mathématiques vers les objets dans une machine à calculer primitive telle que le boulier. En fait, nous sommes enveloppés par les mathématiques. Ce bâtiment des Arts et Métiers, l’architecture de cette ville, tout ce qui nous entoure, sont des constructions artificielles, délibérément produites selon un ordre mathématique, même s’il est implicite pour le constructeur. Les ordinateurs sont l’incarnation moderne la plus évidente de cette rétroaction, de cette création d’objets à partir des symétries mathématiques, qui essaient de les imiter ou de les incarner.

Ce double mouvement, par lequel les mathématiques et le réel s’amplifient et se répercutent, constitue une des sources de la fécondité des mathématiques.

Mentionnons tout de suite — pour l’évacuer, car ce serait l’objet d’une autre conférence et d’un autre débat — un redoutable problème lié à notre thème et qui concerne le degré de réalité des idéalités mathématiques. On oppose traditionnellement Platon à Aristote sur ce point. On désigne sous le nom de « platonisme » une croyance, plus ou moins élaborée, plus ou moins naïve, en l’existence réelle — dans notre monde ou dans un autre — d’objets mathématiques. Certains mathématiciens croient que la suite des nombres « 1, 2, 3… », qui ne se termine pas, existe quelque part. Selon eux, des objets plus sophistiqués : l’ensemble des nombres premiers, l’ensemble des « groupes finis simples », et bien d’autres du même genre, auraient également une existence indépendante de nous, incarnée quelque part dans un monde des idées parallèle ou intérieur au nôtre. Galilée est l’un des premiers à avoir défendu une telle position en déclarant que l’ordre du monde ne pouvait plus s’écrire que dans le langage mathématique. Ce qui m’a toujours frappé dans ces discussions souvent très vives entre mathématiciens, ou entre philosophes intéressés aux mathématiques, sur le degré de réalité des idéalités mathématiques, c’est qu’on ne remarque jamais le parallèle avec la musique. Pourtant, Mozart était sincèrement persuadé que dans ses symphonies il ne faisait que refléter une musique céleste, et Bach exprimait des convictions assez analogues. J’ai l’habitude de dire que les anges chantent certainement en allemand, ou peut-être en yiddish pour certains d’entre eux. Quand un musicien dit cela, le plus souvent on sourit ; on admire sa musique mais on ne prend pas forcément à la lettre ce qu’il dit. Un certain nombre de mathématiciens voudraient néanmoins nous obliger à croire la même chose s’agissant des mathématiques. Je ne me lancerai pas dans ce débat, voulant rester plus pragmatique.

Les confusions sur le terme de « réalité » sont fréquentes. Dans un extrait de la bibliographie d’un article de physique mathématique récent, le mot « réalité » apparaît à deux occasions. Il est employé de manière très trompeuse. Dans l’article d’Alain Connes, la phrase : « La géométrie non commutative est la réalité » signifie en fait que le modèle mathématique qu’il propose, la géométrie non commutative, rend compte de la réalité. Et c’est justement dans ce but qu’il l’a inventé : pour essayer de présenter d’une nouvelle manière ce qu’on appelle le « modèle standard des particules élémentaires ».

Le mot « réalité », dans le titre de ces deux articles, mais surtout dans celui de Michael Atiyah, a un autre sens encore totalement différent. En mathématiques, on distingue les nombres réels des nombres complexes. Cela ne veut pourtant pas dire que les nombres réels sont vraiment réels. Croire que les nombres réels soient vraiment réels reviendrait à croire à la matérialité de l’infinité des décimales d’un nombre tel que π = 3,14… Le statut épistémologique ou ontologique de cette croyance est pour le moins douteux, chacun en conviendra. D’autre part, on pourrait croire que les nombres imaginaires ou complexes sont moins « réels » que les réels. Or, depuis deux siècles, depuis que Gauss et Argand nous ont expliqué que les calculs sur les nombres complexes ne sont autre chose qu’une traduction symbolique, extrêmement utile et habile, de raisonnements de géométrie plane, et depuis que cette méthode a été utilisée abondamment en électricité et dans d’autres domaines pratiques, il devient impossible de croire que les nombres imaginaires sont plus « imaginaires » que les nombres réels.

Dans les citations précédentes, il s’agit en fait de savoir si, dans certaines théories physiques, on a vraiment besoin d’utiliser les nombres complexes dans le formalisme mathématique ou si l’on peut se contenter, au moins en principe, des nombres réels. Il ne s’agit pas d’un débat philosophique ou métaphysique, mais de conditions extrêmement strictes, qui doivent se traduire, de manière explicite, par la forme de certaines équations auxquelles on peut choisir d’imposer ou non ces restrictions. Dans l’élaboration d’un modèle de physique mathématique, la réduction ou l’augmentation du nombre des paramètres ajoute ou enlève de la liberté à la théorie, accroît ou diminue la flexibilité de la représentation du monde.

Dans un autre domaine, j’ai animé, il y a quelques mois, un colloque intitulé « La mathématique et le réel », où le terme « réel » était encore pris dans un autre sens, celui que les psychanalystes lacaniens — qui participaient à ce débat — donnent à ce terme : une certaine « réalité » des phénomènes psychologiques, et une certaine « réalité » du sujet.

Le mot « réel » est donc très sujet à caution, et je préfère discuter, non pas des « mathématiques et du réel » — un sujet un peu trop vaste — mais des « mathématiques et de la réalité », sujet également très vaste, mais articulé autour de la thèse que j’ai énoncée d’entrée de jeu.

Avant d’examiner le contenu des mathématiques elles-mêmes, il faut se demander qui fait les mathématiques. Ce qui distingue les mathématiques d’autres sciences ou activités humaines, c’est leur caractère « objectif », ou mieux, « intersubjectif ». Non que j’adhère aux thèses des sociobiologistes qui récusent l’objectivité des concepts scientifiques en ramenant l’activité scientifique à un vulgaire marchandage politique, un rapport de forces entre individus, excès dans lequel certains disciples de Thomas Kuhn sont tombés. Mais les mathématiques sont tout de même une science largement « désubjectivisée », plutôt qu’objectivée. Cela signifie que l’on s’efforce de présenter et de transmettre les concepts tels qu’ils ont été créés de telle sorte que l’affect ait disparu au maximum.

À la limite, l’idéal de la présentation mathématique, c’est le canon géométrique que nous avons hérité d’Euclide, qui s’efforce d’évacuer des raisonnements mathématiques tout superflu, et tout ce qui serait entaché de subjectivité. Si l’entreprise mathématique est intersubjective, si elle s’efforce de dégager des concepts et des notions qui s’imposent à tous indépendamment de leur subjectivité et qui puissent être reçus quel que soit l’état interne des émotions du sujet, c’est aussi une œuvre collective. Chaque génération s’élève sur les épaules des géants qui l’ont précédée. Les mathématiques, tout autant que les autres sciences, et même un peu plus qu’elles car leur histoire est plus longue, s’appuient sur l’acquis des générations précédentes. Les remises en cause fondamentales sont moins fréquentes en mathématiques que dans les autres sciences ; ceci ne signifie pas qu’il n’y ait pas de changements de points de vue, ou de « paradigmes », comme disait Thomas Kuhn, mais le processus de développement des mathématiques est plutôt cumulatif, accrétif, que progressant par révolutions. Une notion acquise à un moment donné le restera ; un fait mathématique restera un fait mathématique, même si le mode d’expression en peut changer au cours de l’histoire. Les mathématiques sont une activité très intérieure, justement par le fait de cet idéal de désubjectivisation. Comme Lacan l’avait très bien analysé à propos de Joyce, et, après lui, une de ses disciples à propos de George Cantor, le fondateur de la théorie des ensembles, s’a...

Table des matières

• Couverture
• Titre
• Copyright
• Préface
• Introduction
• I - Qu’est-ce que la vie ?
• II - Diversité de la vie, évolution et préhistoire
• III - Première étape de réflexion et de critique : le savoir, la technique et l’éthique
• IV - Aspects du développement humain
• V - Où mène la génétique ?
• VI - Le cerveau, les comportements et les passions
• Les auteurs
• Table