Le Nombre d'or

Les clés du mystère

Mario Livio

• Éditeur: Odile Jacob
• Année: 2018
• Imprimer l'ISBN: 9782738143068
• ISBN de l'eBook: 9782738143075
• Sujet: Mathématiques
• Sujet: Mathématiques générales

Le nombre d'or, proportion géométrique simple définie par Euclide, hante depuis plusieurs siècles les mathématiciens, les esthètes et les amateurs d'ésotérisme. À les en croire, on trouverait cette « divine proportion » dans la mesure des pyramides d'Égypte et du Parthénon, dans les tableaux de Léonard de Vinci et de Manet, dans les partitions de Bach et de Bartók, dans les pétales de la marguerite et la spirale du nautile. En bref, il serait partout, témoignant d'une mystérieuse et fascinante magie géométrique. Il fallait un mathématicien amateur d'art et de mystère pour pénétrer les arcanes du nombre d'or. Toutes les clés de compréhension sont données ici pour apprécier l'étrange beauté d'un nombre pas comme les autres. Mario Livio dévoile l'histoire et le mystère du remarquable nombre d'or de façon à permettre aux illettrés mathématiques de célébrer ses merveilles... Vous ne verrez plus jamais une pyramide, une pomme de pin ou un Picasso de la même manière. Dan Brown Un merveilleux tremplin vers l'univers mathématique et ses relations avec le monde physique, de l'Antiquité à nos jours. Roger Penrose Mario Livio, astrophysicien de renommée internationale, a travaillé pendant vingt-quatre ans auprès du télescope spatial Hubble. Il est l'auteur de nombreux ouvrages de vulgarisation à succès. 

CHAPITRE 1

Prélude

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« Innombrables sont les merveilles du monde. »

SOPHOCLE1.

Le physicien britannique lord Kelvin, célèbre pour avoir donné son nom à l’échelle absolue de température, déclara lors d’une conférence : « Si vous ne pouvez l’exprimer avec des nombres, votre savoir reste incomplet et insatisfaisant. » Kelvin pensait au savoir requis pour faire avancer la science, mais le nombre et la mathématique peuvent nous aider à comprendre bien d’autres choses. Dans Le Mystère de Marie Roget d’Edgar Poe, le détective Auguste Dupin dit : « Nous faisons du hasard la matière d’un calcul rigoureux. Nous soumettons l’inattendu et l’inconcevable aux formules mathématiques des écoles2. » À un niveau plus simple, voici une question que vous vous êtes peut-être posée : vous devez couper en douze un gâteau au chocolat en forme de barre ; combien de coupes devrez-vous faire ? La réponse ne demande aucun calcul, seulement une remarque : chaque fois que vous coupez le gâteau, vous obtenez une part de plus qu’avant. Si donc vous devez obtenir douze morceaux, il faudra couper onze fois.

Figure 1

Même si vous n’aimez pas le chocolat, cela montre qu’une simple règle mathématique permet de résoudre un problème concret. Mais au-delà de ces règles (que nous avons tendance à oublier rapidement), certains nombres sont si répandus, et se retrouvent dans des domaines si variés, qu’ils nous fascinent durablement. Le plus célèbre est π, rapport de la circonférence du cercle à son diamètre. Sa valeur (3,14159…) a plongé plusieurs générations de mathématiciens dans des abîmes de perplexité, car on retrouve ce nombre, initialement défini en géométrie, dans la théorie des probabilités. Un exemple célèbre est celui de l’« aiguille de Buffon », du nom de Georges Buffon qui posa le problème, et le résolut, en 1777. Supposons que vous laissiez tomber une aiguille sur un plancher fait de lames parallèles ayant pour largeur la longueur de l’aiguille, quelle est la probabilité pour que l’aiguille tombe à cheval sur la limite entre deux lames du plancher (voir figure 1) ? Bizarrement, la réponse est 2/π. La présence de π est tout à fait surprenante, car on pourrait ainsi déterminer sa valeur en laissant tomber une aiguille sur le sol un grand nombre de fois ! Et où trouverait-on un cercle dans une série de parallèles ? Pi est comme on le sait devenu un nombre mythique, auquel le réalisateur Darren Aronofsky a par exemple consacré en 1997 un thriller éponyme.

Un peu moins connu que pi, le nombre phi (ϕ) n’est pas moins fascinant. Quel rapport y a-t-il entre la disposition des pétales d’une rose, La Dernière Cène de Salvador Dali, la spirale des coquillages et l’élevage des lapins ? Tous se réfèrent à une proportion géométrique connue depuis l’Antiquité, baptisée « divine proportion » à la Renaissance, et « proportion dorée » ou « nombre d’or » au XIX^e siècle.

Dans le langage courant, le mot « proportion » désigne soit un rapport entre deux quantités, soit l’harmonie qui résulte d’un tel rapport. Le nombre d’or, justement, n’a cessé, au cours de son histoire, de mélanger les deux acceptions, son aspect purement mathématique ayant toujours évoqué la notion d’harmonie et de beauté.

La première définition claire du nombre d’or se trouve dans l’œuvre d’Euclide d’Alexandrie, fondateur de la géométrie, vers 300 avant J.-C. :

Une droite est dite être coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle [est] tout entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit (Livre VI, 3^e définition).

En d’autres termes, sur la figure 2, le rapport AB/AC doit être égal au rapport AC/CB.

Qui aurait pensé qu’une division aussi anodine, définie pour des raisons purement géométriques, ait des conséquences jusqu’en botanique, en astronomie, en mathématiques et dans les beaux-arts ? Le nombre d’or nous met ainsi en contact avec cette forme d’émerveillement que recherchait Albert Einstein quand il déclarait : « La plus belle chose que nous puissions éprouver est le mystère. C’est une émotion fondamentale qui veille sur le berceau de l’art et de la science. Celui qui croit savoir ne s’émerveille plus ; il est comme mort, telle une bougie soufflée. »

Comme nous allons le calculer dans ce livre, le nombre d’or vaut 1,6180339887…, les points de suspension indiquant que ce nombre, comme pi, est sans fin. On raconte que lorsque Hippase de Métaponte découvrit au V^e siècle avant J.-C. que le nombre d’or n’était ni un nombre entier (1, 2, 3…), ni un nombre rationnel (rapport de deux entiers : 1/2, 1/3…), les autres disciples du maître Pythagore, les pythagoriciens, furent effarés. Ils étaient en effet de fervents admirateurs de l’arithmos – propriétés des nombres entiers et de leurs rapports qui, selon eux, structuraient l’univers. Le fait que certains nombres comme le nombre d’or soient proprement incalculables, qu’ils soient irrationnels, déclencha une véritable crise philosophique. S’agissait-il d’une « erreur » cosmique, d’un secret qu’il fallait absolument garder caché ?

Figure 2

Le fait que le nombre d’or ne puisse s’exprimer sous forme de fraction (de nombre rationnel) signifie que l’on ne trouvera jamais de « commune mesure » entre les segments AC et CB (figure 2) qui vaudrait 31 fois cette mesure et l’autre 19 fois, par exemple. C’est pourquoi on les dit « incommensurables », et l’on conçoit qu’il y ait là quelque chose d’inacceptable.

Dans la littérature grecque, le nombre d’or était désigné par la lettre tau (τ, du grec to-mi qui signifie « couper », « section »). Au début du XX^e siècle, le mathématicien américain Mark Barr le nomma phi (ϕ ou Φ), première lettre de Phidias, le grand sculpteur grec du V^e siècle avant J.-C., auteur de l’Athena Parthenos d’Athènes, du Zeus d’Olympie, et de plusieurs sculptures du fronton du Parthénon. Barr décida d’honorer ainsi Phidias, car plusieu...

Table des matières

• Couverture
• Titre
• Copyright
• Dédicace
• CHAPITRE 1 - Prélude
• CHAPITRE 2 - L’or du pentagone
• CHAPITRE 3 - Sous une pyramide à pointe étoilée
• CHAPITRE 4 - Le deuxième trésor
• CHAPITRE 5 - Fibonacci
• CHAPITRE 6 - La divine proportion
• CHAPITRE 7 - Peintres et poètes ont toujours eu le droit de tout oser
• CHAPITRE 8 - Des pavages aux nuages
• CHAPITRE 9 - Dieu est-il mathématicien ?
• Appendices
• Bibliographie
• Index
• Remerciements
• Crédits
• Table
• Du même auteur chez Odile Jacob