RS-66 leçons agreg maths 2ed

Mathieu Kieffer, Paul de Laboulaye

• Éditeur: ELLIPSES
• Année: 2025
• ISBN de l'eBook: 9782340102774
• Édition: 2

Cet ouvrage propose une préparation à la première épreuve orale de l'agrégation interne de mathématiques: l'épreuve dite " de l'exposé ". Lors de cette épreuve, le candidat tire au hasard un numéro d'exposé parmi les nombreux inscrits au programme de ce concours. Il s'agit alors, durant les trois heures de préparation octroyées, de construire un cours succinct et réfléchi puis de le motiver lors d'une présentation orale de 45 minutes articulée à temps égal de la façon suivante:

• présentation du plan de l'exposé;
• présentation d'un développement (une démonstration la plupart du temps);
• question du jury.

Cet ouvrage regroupe 66 exposés d'oral de l'agrégation interne de mathématiques ainsi qu' une dizaine de fiches pratiques.

Table des matières

• Table des matières
• 1. Groupes monogènes. Groupes cycliques. Exemples
• 2. Permutations d'un ensemble fini, groupe symétrique. Applications
• 3. Anneau Z/nZ. Applications
• 4. Nombres premiers. Propriétés et applications
• 5. PGCD dans K[X], où K est un corps commutatif, théorème de Bézout. Algorithme d'Euclide. Applications
• 6. Dimension d'un espace vectoriel admettant une famille génératrice finie. Rang d'une famille de vecteurs
• 7. Formes linéaires, hyperplans, dualité en dimension finie. Exemples
• 8. Polynômes d'endomorphismes en dimension finie. Applications
• 9. Changements de bases en algèbre linéaire. Applications
• 10. Déterminants. Applications
• 11. Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d'une matrice. Applications
• 12. Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3
• 13. Utilisation des nombres complexes en géométrie
• 14. Endomorphismes symétriques d'un espace vectoriel euclidien. Applications
• 15. Réduction et classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel réel de dimension finie. Cas d'un espace euclidien. Applications géométriques
• 16. Isométries du plan affine euclidien, décomposition canonique. Applications
• 17. Barycentres. Applications
• 18. Applications affines en dimension finie. Propriétés et exemples
• 19. Droites et cercles dans le plan affine euclidien
• 20. Polynômes à une indéterminée à coefficients réels ou complexes
• 21. Notion de rang en algèbre linéaire. Applications
• 22. Coniques
• 23. Réduction d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications
• 24. Systèmes d'équations linéaires. Applications
• 25. Valeurs propres et vecteurs propres. Recherche et utilisation
• 26. Arithmétique dans Z
• 27. Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications
• 28. Endomorphismes diagonalisables. Exemples et applications
• 29. Corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur un corps commutatif. Applications
• 30. Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupe des racines de l'unité. Applications
• 31. Racines d'un polynôme à une indéterminée. Relations coefficients-racines. Applications
• 32. Étude de suites numériques définies par différents types de récurrence. Applications
• 33. Séries à termes réels positifs. Applications
• 34. Séries à termes réels ou complexes : convergence absolue, semi-convergence
• 35. Espaces vectoriels normés de dimension finie, normes usuelles, équivalence des normes. Applications
• 36. Espaces préhilbertiens : projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie. Application à l'approximation de fonctions
• 37. Parties compactes de Rn. Fonctions continues sur une telle partie. Exemples et applications
• 38. Théorème des valeurs intermédiaires. Applications
• 39. Séries de fonctions. Propriétés de la somme, exemples
• 40. Séries entières d'une variable réelle ou complexe. Rayon de convergence. Propriétés de la somme. Exemples
• 41. Séries de Fourier d'une fonction périodique. Propriétés de la somme. Exemples
• 42. Exponentielle complexe. Fonctions trigonométriques. Nombre
• 43. Comparaison d'une série et d'une intégrale. Applications
• 44. Théorème des accroissements finis. Applications
• 45. Fonctions convexes d'une variable réelle. Applications
• 46. Différentes formules de Taylor pour une fonction d'une variable réelle. Applications
• 47. Fonction réciproque d'une fonction définie sur un intervalle. Continuité, dérivabilité. Exemples
• 48. Méthodes de calcul approché d'une intégrale. Majoration ou estimation de l'erreur
• 49. Intégrale impropre d'une fonction continue sur un intervalle de R (l'intégration sur un segment étant supposée connue). Exemples
• 50. Intégrale d'une fonction dépendant d'un paramètre. Propriétés, exemples et applications
• 51. Équations différentielles linéaires d'ordre 2 : x''+a(t)x'+b(t)x=c(t), où a, b, c sont des fonctions continues sur un intervalle de R, à valeurs réelles ou complexes
• 52. Systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants. Exemples
• 53. Fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles, différentiabilité, fonctions de classes C1. Exemples
• 54. Extremums d'une fonction de plusieurs variables réelles
• 55. Suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli. Variables aléatoires de loi binomiale et approximations de la loi binomiale
• 56. Conditionnement et indépendance en probabilités. Exemples
• 57. Espérance, variance. Applications
• 58. Variables aléatoires possédant une densité. Exemples
• 59. Intégrales et primitives
• 60. Inégalités en analyse et en probabilités
• 61. Couples de variables aléatoires discrètes. Covariance. Exemples d'application
• 62. Étude métrique des courbes planes
• 63. Suites dans un espace vectoriel normé de dimension finie
• 64. Fonctions développables en série entière
• 65. Applications linéaires continues, normes associées. Exemples
• 66. La fonction Gamma
• Annexes
• Bibliographie
• Index