RS-Algèbre et géométrie

Mathieu Kieffer, Paul de Laboulaye

• Éditeur: ELLIPSES
• Année: 2025
• ISBN de l'eBook: 9782340104655
• Édition: 0

Ce livre estcentré sur l'algèbre et la géométrie et se destine à celles et ceux qui souhaitenttravailler ces domaines. Il se veut une préparation actualisée à la première épreuve orale de l'agrégation interne de mathématiques: l'épreuve dite «de l'exposé». Celle consistant, durant les trois heures de préparation octroyées, à concevoir un cours concis et pertinent puis de le motiver lors d'une présentation orale d'une heure articulée à temps égal de la façon suivante:

• présentation du plan de l'exposé;
• présentation d'un développement (une démonstration, une résolution d'exercice, un exemple en général);
• questions du jury.

Le présent ouvrage regroupe 38 exposés d'oral ainsi que quelques fiches de synthèse, en conformité avec le programme de la session 2025. L'auteur a ainsi souhaité continuer à partager son expérience afin de guider l'agrégatif souvent désorienté devant le vaste paysage que représente le programme de cet exigeant concours.

Il vise à donner un exemple de base concrète ayant permis une réussite isolée. L'agrégatif s'appuiera d'abord sur ces exposés afin de se rassurer puis s'en émancipera à mesure de la construction de sa propre culture mathématique.

Table des matières

• Couverture
• Titre
• Copyright
• Avant-propos
• Citation
• Table des matières
• 1. Groupes monogènes. Groupes cycliques. Exemples
• 2. Permutations d’un ensemble fini, groupe symétrique. Applications
• 3. Anneau Z/nZ. Applications
• 4. Structures quotients, exemples et applications
• 5. Nombres premiers. Propriétés et applications
• 6. Idéaux d’un anneau commutatif. Exemples
• 7. PGCD dans K[X], où K est un corps commutatif, théorème de Bézout. Algorithme d’Euclide. Applications
• 8. Polynômes à une indéterminée à coefficients réels ou complexes
• 9. Racines d’un polynôme à une indéterminée. Relations coefficients-racines. Applications
• 10. Dimension d’un espace vectoriel admettant une famille génératrice finie. Rang d’une famille de vecteurs
• 11. Formes linéaires, hyperplans, dualité en dimension finie. Exemples
• 12. Déterminants. Applications
• 13. Systèmes d’équations linéaires. Applications
• 14 Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d’une matrice. Applications
• 15. Diverses factorisations de matrices. Applications
• 16. Notion de rang en algèbre linéaire. Applications
• 17. Valeurs propres et vecteurs propres. Recherche et utilisation
• 18. Réduction d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications
• 19. Polynômes d’endomorphismes en dimension finie. Applications
• 20. Endomorphismes symétriques d’un espace vectoriel euclidien. Applications
• 21. Endomorphismes diagonalisables. Exemples et applications
• 22. Endomorphismes trigonalisables et nilpotents. Applications
• 23. Groupe linéaire GL(E) d’un espace vectoriel de dimension finie E
• 24. Barycentres. Applications
• 25. Applications affines en dimension finie. Propriétés et exemples
• 26. Espaces préhilbertiens : projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie. Application à l’approximation de fonctions
• 27. Réduction et classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel réel de dimension finie. Cas d’un espace euclidien. Applications géométriques
• 28. Groupe orthogonal d’un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3
• 29. Isométries du plan affine euclidien, décomposition canonique. Applications
• 30. Utilisation des nombres complexes en géométrie
• 31. Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupe des racines de l’unité. Applications
• 32. Utilisation des groupes en géométrie
• 33. Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications
• 34. Arithmétique dans Z
• 35. Coniques
• 36. Changements de bases en algèbre linéaire. Applications
• 37. Droites et cercles dans le plan affine euclidien
• 38. Corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur un corps commutatif. Applications
• Annexes
• Bibliographie
• Index
• Page vierge