Analyse/proba 39 lecons agreg

Mathieu Kieffer, Paul de Laboulaye

• Éditeur: ELLIPSES
• Année: 2025
• ISBN de l'eBook: 9782340107144
• Édition: 0

Cet ouvrage se veut une préparation actualisée, et centrée sur l'analyse et les probabilités, à la première épreuve orale de l'agrégation interne de mathématiques : l'épreuve dite « de l'exposé ». Lors de cette épreuve, le candidat tire au hasard un numéro de sujet parmi ceux inscrits au programme de ce concours. Il s'agit alors, durant les trois heures de préparation octroyées, de concevoir un cours concis et pertinent puis de le motiver lors d'une présentation orale d'une heure articulée à temps égal de la façon suivante :

• présentation du plan de l'exposé ;
• présentation d'un développement (une démonstration, une résolution d'exercice, un exemple en général) ;
• questions du jury.

Le présent ouvrage regroupe 39 exposés d'oral ainsi que quelques fiches de synthèse. Fruit tout d'abord d'un travail personnel ayant duré 16 mois, il s'est par la suite vu relu, augmenté et entrer en conformité avec le programme de la session 2025. L'auteur a ainsi souhaité continuer à partager son expérience afin de guider l'agrégatif souvent désorienté devant le vaste paysage que représente le programme de cet exigeant concours.

Table des matières

• Étude de suites numériques définies par différents types de récurrence. Applications
• Séries à termes réels positifs. Applications
• Séries à termes réels ou complexes : convergence absolue, semi-convergence
• Vitesse de convergence. Méthodes d'accélération de convergence
• Écriture décimale d'un nombre réel. Cas des nombres rationnels
• Théorème des valeurs intermédiaires. Applications
• Théorème des accroissements finis. Applications
• Fonctions convexes d'une variable réelle. Applications
• Différentes formules de Taylor pour une fonction d'une variable réelle. Applications
• Fonction réciproque d'une fonction définie sur un intervalle. Continuité, dérivabilité. Exemples
• Séries de fonctions. Propriétés de la somme, exemples
• Séries entières d'une variable réelle ou complexe. Rayon de convergence. Propriétés de la somme. Exemples
• Séries de Fourier d'une fonction périodique. Propriétés de la somme. Exemples
• Méthodes de calcul approché d'une intégrale. Majoration ou estimation de l'erreur
• Intégrale impropre d'une fonction continue sur un intervalle de R (l'intégration sur un segment étant supposée connue). Exemples
• Intégrale d'une fonction dépendant d'un paramètre. Propriétés, exemples et applications
• Équations différentielles linéaires d'ordre 2 : x''+a(t)x'+b(t)x=c(t), où a, b, c sont des fonctions continues sur un intervalle de R, à valeurs réelles ou complexes
• Systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants. Exemples
• Diverses méthodes de résolution approchée d'une équation numérique ou d'une équation différentielle
• Étude métrique des courbes planes
• Parties compactes de Rn. Fonctions continues sur une telle partie. Exemples et applications
• Fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles, différentiabilité, fonctions de classes C1. Exemples
• Extremums d'une fonction de plusieurs variables réelles
• Espaces vectoriels normés de dimension finie, normes usuelles, équivalence des normes. Applications
• Applications linéaires continues, normes associées. Exemples
• Suites dans un espace vectoriel normé de dimension finie
• Théorèmes de points fixes
• Espérance, variance. Applications
• Variables aléatoires possédant une densité. Exemples
• Conditionnement et indépendance en probabilités. Exemples
• Suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli. Variables aléatoires de loi binomiale et approximations de la loi binomiale
• Loi normale en probabilités et statistiques
• Couples de variables aléatoires discrètes. Covariance. Exemples d'application
• Exponentielle complexe. Fonctions trigonométriques. Nombre
• Comparaison d'une série et d'une intégrale. Applications
• Intégrales et primitives
• Inégalités en analyse et en probabilités
• Fonctions développables en série entière
• La fonction Gamma
• Annexes
• Bibliographie
• Index