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P-adic Aspects Of Modular Forms
Baskar Balasubramanyam, Haruzo Hida, A Raghuram;Jacques Tilouine
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P-adic Aspects Of Modular Forms
Baskar Balasubramanyam, Haruzo Hida, A Raghuram;Jacques Tilouine
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Ă propos de ce livre
The aim of this book is to give a systematic exposition of results in some important cases where p -adic families and p -adic L -functions are studied. We first look at p -adic families in the following cases: general linear groups, symplectic groups and definite unitary groups. We also look at applications of this theory to modularity lifting problems. We finally consider p -adic L -functions for GL(2), the p -adic adjoint L -functions and some cases of higher GL( n ).
Contents:
- An Overview of Serre's p -Adic Modular Forms (Miljan Brakočević and R Sujatha)
- p -Adic Families of Ordinary Siegel Cusp Forms (Jacques Tilouine)
- Ordinary Families of Automorphic Forms on Definite Unitary Groups (Baskar Balasubramanyam and Dipramit Majumdar)
- Notes on Modularity Lifting in the Ordinary Case (David Geraghty)
- p -Adic L -Functions for Hilbert Modular Forms (Mladen Dimitrov)
- Arithmetic of Adjoint L -Values (Haruzo Hida)
- p -Adic L -Functions for GL n (Debargha Banerjee and A Raghuram)
- Non-Triviality of Generalised Heegner Cycles Over Anticyclotomic Towers: A Survey (Ashay A Burungale)
- The Euler System of Heegner Points and p -Adic L -Functions (Ming-Lun Hsieh)
- Non-Commutative q -Expansions (Mahesh Kakde)
Readership: Researchers in algebra and number theory.
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Informations
Sujet
MatemĂĄticasSous-sujet
InvestigaciĂłn y estudio matemĂĄticoChapter 6
Arithmetic of adjoint L-values
Haruzo Hida
Department of Mathematics,
UCLA, Los Angeles, CA 90095-1555, USA
UCLA, Los Angeles, CA 90095-1555, USA
Contents
6.1.Introduction
6.2.Some ring theory
6.2.1.Differentials
6.2.2.Congruence and differential modules
6.3.Deformation rings
6.3.1.One dimensional case
6.3.2.Congruence modules for group algebras
6.3.3.Proof of Tateâs theorem
6.3.4.Two dimensional cases
6.3.5.Adjoint Selmer groups
6.3.6.Selmer groups and differentials
6.4.Hecke algebras
6.4.1.Finite level
6.4.2.Ordinary of level Npâ
6.4.3.Modular Galois representation
6.4.4.Hecke algebra is universal
6.5.Analytic and topological methods
6.5.1.Analyticity of adjoint L-functions
6.5.2.Integrality of adjoint L-values
6.5.3.Congruence and adjoint L-values
6.5.4.Adjoint non-abelian class number formula
6.5.5.p-Adic adjoint L-functions
References
6.1.Introduction
In this lecture note of the mini-course, we discuss the following five topics:
(1)Introduction to the ordinary (i.e. slope 0) Hecke algebras (the so-called âbig Hecke algebraâ);
(2)Some basic ring theory to deal with Hecke algebras;
(3)âR = Tâ theorem of WilesâTaylor, and its consequence for the adjoint Selmer groups;
(4)Basics of adjoint L-function (analytic continuation, rationality of the value at s = 1);
(5)Relation of adjoint L-values to congruence of a modular form f and the Selmer group of the adjoint Galois representation Ad(Ïf) (the adjoint main conjectures).
Let us describe some history of these topics along with the content of the note. Doi and the author started the study of the relation between congruence among cusp forms and L-values in 1976 (the L-value governing the congruence is now called the adjoint L-value L(1, Ad(f))). How it was started was described briefly in a later paper [DHI98]. Here is a quote from the introduction of this old article:
âIt was in 1976 when Doi found numerically non-trivial congruence among Hecke eigenforms of a given conductor for a fixed weight Îș [DO77]. Almost immediately after his discovery, Doi and Hida started, from...