Parte 2. El segundo año
Capítulo 9
Inducción
I. S. Rubanov
§ 1. Los procesos inductivos y el método de inducción
Introducción para los profesores. ¿Quién no ha jugado alguna vez a colocar fichas de dominó en una fila y hacer que caigan en cadena? Empujamos la primera ficha y esta derriba a la segunda, la segunda derriba entonces a la tercera y así sucesivamente hasta que caen todas. Sustituyamos ahora las fichas de dominó por una serie infinita de proposiciones (P1, P2, P3, …) numeradas con los enteros positivos.
Supongamos que podemos demostrar que:
(B): la primera proposición de la serie es verdadera.
(S): La veracidad de cada proposición de la serie implica la veracidad de la siguiente.
Entonces habríamos demostrado, de hecho, todas las proposiciones de la serie. En efecto, si “empujamos la primera ficha de dominó”, es decir, probamos la primera afirmación (B), entonces el enunciado (S) significará que cada “ficha” (proposición), al caer (ser demostrada), derribará a (implica la veracidad de) la siguiente. Cualquier proposición que elijamos de antemano será probada eventualmente al ser alcanzada por esta onda de demostraciones.
Acabamos de hacer una descripción del método de inducción matemática. La afirmación (B) es la “base de inducción” y la (S) es el “paso de inducción”. Nuestro razonamiento con la sucesión de fichas de dominó cayendo demuestra que el paso (S) no es más que una forma compacta de representar la cadena de teoremas que mostramos abajo:
P1 → P2 → P3 → … → Pk → Pk + 1 → …
Llamaremos a los teoremas de esta sucesión “pasos”, y al proceso que consiste en demostrarlos secuencialmente, “el proceso de inducción”. Podemos representar este proceso visualmente como una sucesión de demostraciones que van avanzando de cada proposición a la siguiente a lo largo de una cadena de teoremas.
La esencia del método de inducción consiste precisamente en este proceso. Podemos preguntarnos entonces cómo podemos transmitir esta idea a los alumnos. Intentaremos mostrarlo simulando un diálogo entre un profesor (P) y un estudiante (E), que bien podría representar una sesión de uno de nuestros círculos matemáticos. Al final del diálogo propondremos algunos comentarios metodológicos para el profesor (las referencias numeradas a esos comentarios aparecen indicadas entre paréntesis en el propio texto del diálogo).
Problema 1. P: Recortamos un cuadrado de 16 × 16 de una hoja de papel cuadriculado y le quitamos una casilla cualquiera. Demuestra que la figura así obtenida puede ser recubierta sin solapamientos por triminós como el que se muestra en la figu...