Manuale di matematica avanzata

Simone Malacrida

• Publisher: Simone Malacrida
• Year: 2016
• ISBN:
  9781523469048
• Topic: Matematica
• Subtopic: Analisi matematica

Questo libro esplora gran parte della matematica avanzata, partendo dalla pietra miliare data dall'analisi matematica fino ad arrivare alla geometria differenziale e frattale, alla logica matematica, alla topologia algebrica, alla statistica avanzata e all'analisi numerica. Nel contempo saranno forniti approfondimenti completi circa le equazioni differenziali e integrali, l'analisi funzionale, lo sviluppo matriciale e tensoriale avanzato. Con il bagaglio matematico esposto, sarà possibile comprendere tutti i meccanismi per la descrizione delle conoscenze scientifiche espresse tramite i più disparati formalismi.

XXVII

STATISTICA AVANZATA

La statistica avanzata si può dividere in due grandi categorie: la statistica descrittiva e quella inferenziale. La statistica descrittiva sintetizza e studia tutti i criteri e le classificazioni statistiche, in particolare utilizzando concetti quali gli indici di valore atteso, varianza e covarianza. La statistica inferenziale, partendo dal calcolo combinatorio e dalla teoria della probabilità, arriva a definire le variabili aleatorie, le loro distribuzioni di probabilità, la teoria della stima e la verifica di ipotesi; all’interno della statistica inferenziale è anche presente l’inferenza bayesiana di cui parleremo in seguito.

Una variabile casuale o aleatoria è una funzione misurabile su uno spazio campionario nel quale è definita una misura di probabilità. Tale variabile può essere a valori in R, e quindi ad una dimensione, oppure avere più dimensioni e in tale caso si parla di variabili aleatorie multivariate.

Ad ogni variabile casuale X si può associare una distribuzione o legge di probabilità che assegna ad ogni sottoinsieme dei possibili valori di X la probabilità che la variabile casuale assuma valore in tale sottoinsieme ed è così definita:

Dove l’ultima relazione è la misura di probabilità definita sullo spazio campionario.

Se la variabile casuale è discreta allora la funzione di probabilità discreta è così definita:

Mentre se è continua, la funzione densità di probabilità è data da:

Dove A è un sottoinsieme dello spazio campionario e l’integrale è inteso secondo Lebesgue.

Per variabili casuali multivariate vale la seguente estensione per la funzione densità di probabilità:

Che è detta funzione densità di probabilità congiunta. D’altra parte, la densità di probabilità di una singola componente, detta densità marginale, è così definita:

Nel caso di variabili discrete multivariate valgono le seguenti definizioni per le funzioni di probabilità congiunte e marginali:

Si chiama invece funzione di ripartizione, una funzione non decrescente, continua a destra e con le seguenti proprietà:

Tale per cui si abbia che:

Le relazioni tra la funzione di ripartizione e la funzione di probabilità sono date dalle seguenti formule, rispettivamente nel caso continuo e in quello discreto:

È detta distribuzione condizionata la seguente funzioni di probabilità (caso continuo e caso discreto):

Se due variabili aleatorie sono indipendenti allora i denominatori di tali relazioni sono unitari.

Il valore atteso di variabili aleatorie è così definito nei casi discreto e continuo:

Il valore atteso di una costante è la costante medesima, inoltre il valore atteso è lineare e il valore atteso della somma di variabili aleatorie indipendenti è pari alla somma dei valori attesi delle singole v...