Matematica: calcolo vettoriale e matriciale

Simone Malacrida

• Publisher: Simone Malacrida
• Year: 2016
• ISBN:
  9781523606313
• Topic: Matematica
• Subtopic: Algebra

In questo libro sono presentati i presupposti teorici dei seguenti argomenti matematici:
vettori e calcolo vettoriale
matrici e calcolo matriciale
Ogni argomento è trattato mettendo in risalto le applicazioni pratiche e risolvendo alcuni esercizi significativi

II

MATRICI E CALCOLO MATRICIALE

Definizioni

Una matrice è una tabella di elementi ordinati per righe e colonne.

Date m righe e n colonne la matrice si dice “m per n” e si denota con una lettera maiuscola.

Ogni elemento della matrice è denotato da due pedici, il primo indica la riga, il secondo la colonna.

I vettori possono essere considerati delle matrici in forma semplificata, avendo una sola riga o una sola colonna.

Una matrice di dimensione 1xn è detta matrice riga, se invece è mx1 è detta matrice colonna.

Operazioni e proprietà

La somma e la differenza tra matrici aventi la medesima dimensione è data dalla somma dei singoli elementi.

La moltiplicazione per uno scalare si effettua moltiplicando ogni singolo elemento per lo scalare.

La moltiplicazione tra matrici si effettua in forma “righe per colonne” e si può fare solamente se il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice e si hanno queste formule per il prodotto:

che è una generalizzazione del prodotto scalare tra vettori.

Questa operazione non è commutativa, mentre tutte le altre proprietà del prodotto e della somma sono conservate.

Definiamo 0 la matrice nulla fatta di soli zeri, mentre l’opposto di una matrice è dato dalla matrice avente tutti gli elementi moltiplicati per -1.

Valgono le seguenti proprietà per la somma:

Proprietà di esistenza dell’elemento neutro A+0=0+A=A

Proprietà di esistenza dell’elemento opposto A+(-A)=0

Proprietà associativa (A+B)+C=A+(B+C)

Proprietà commutativa A+B=B+A

Valgono le seguenti proprietà per il prodotto con uno scalare:

Proprietà di esistenza dell’elemento neutro 1A=A

Proprietà associativa (ab)A=a(bA)

Proprietà distributiva a(A+B)=aA+aB

Valgono le seguenti proprietà per il prodotto tra matrici:

Proprietà associativa (AB)C=A(BC)

Proprietà distributiva (A+B)C=AC+BC

Il prodotto tra matrici generalizza anche il prodotto tra una matrice e un vettore.

Calcolo matriciale

Si definisce trasposta la matrice ottenuta scambiando le righe con le colonne.

Si hanno le seguenti relazioni e proprietà:

Si definisce coniugata la matrice ottenuta prendendo il complesso coniugato dei suoi elementi.

Si definisce matrice trasposta coniugata la matrice ottenuta effettuando la trasposta e poi coniugando gli elementi.

Si può vedere che le due operazioni commutano tra di loro:

Inoltre:

- la somma di trasposte coniugate è pari alla trasposta coniugata della somma

- la matrice trasposta coniugata di un prodotto con uno scalare è uguale al prodotto del complesso coniugato dello scalare per la matrice trasposta coniugata

- la matrice trasposta coniugata di un prodotto tra matrici è uguale al prodotto delle matrici trasposte coniugate in senso inverso.

Una matrice si dice hermitiana se coincide con la sua trasposta coniugata.

Una matrice quadrata è una matrice avente lo stesso numero di righe e di colonne.

Una matrice quadrata è simmetrica quando è uguale alla sua trasposta, è invece antisimmetrica quando la sua trasposta è opposta in segno.

Per ma...