Algebra avanzata

Simone Malacrida

• Publisher: Simone Malacrida
• Year: 2016
• ISBN:
  9781523624393
• Topic: Mathematics
• Subtopic: Abstract Algebra
• Index: Mathematics

In questo libro è trattata l'algebra avanzata consistente in:
tipologie di algebra
teoria delle categorie
gruppi e teoria dei gruppi
strutture algebriche teoria di Galois

II

STRUTTURE ALGEBRICHE

Introduzione e definizioni

Una struttura matematica definita su un insieme è costituita da oggetti che caratterizzano l’insieme, come ad esempio la misura, la topologia, la metrica, l’ordinamento e l’algebra.

Una struttura algebrica è un insieme di sostegno della struttura dotato di operazioni che possono essere nullarie, unarie e binarie e che hanno delle proprietà specifiche.

In questo capitolo daremo un elenco dettagliato delle principali strutture algebriche e delle loro proprietà.

Definiamo sottostruttura un sottoinsieme di una struttura algebrica che sia chiuso rispetto alle operazioni in essa definite.

Si dice classe una generica collezione di oggetti che possono essere identificati.

Tutti gli insiemi sono delle classi, mentre le classi che non sono insiemi sono dette classi proprie.

Un morfismo è un processo che trasforma una struttura in un’altra mantenendone inalterate alcune proprietà.

Ogni morfismo parte da un dominio e lo collega ad un codominio, inoltre per ogni oggetto esiste un morfismo chiamato identità che trasforma una struttura in sé stessa mediante composizione con lo stesso morfismo.

Un omomorfismo è un’applicazione tra due strutture algebriche dello stesso tipo che conserva le operazioni ivi definite.

Un omomorfismo iniettivo è detto monomorfismo, uno suriettivo è detto epimorfismo, uno biiettivo è detto isomorfismo.

Se il dominio e il codominio coincidono, allora ogni omomorfismo si chiama endomorfismo (un esempio è dato dalla funzione identità) e ogni isomorfismo è detto automorfismo.

Se un dominio ha proprietà di ordinamento, allora esiste un isomorfismo d’ordine, detto isotonia, che mantiene la proprietà di ordinamento anche nel codominio.

Vedremo che si possono definire particolari isomorfismi in ogni struttura algebrica, per ora ricordiamo che un isomorfismo tra spazi vettoriali è una trasformazione lineare biiettiva e uno tra spazi topologici è una mappa biiettiva detta omeomorfismo.

Un automorfismo di un insieme è una permutazione degli elementi dell’insieme; un automorfismo di uno spazio vettoriale è un operatore lineare invertibile sullo spazio.

Si possono distinguere gli automorfismi interni derivanti da coniugazioni tra elementi dello stesso oggetto e automorfismi esterni.

Teoria delle categorie e caratteristica di Eulero

Lo studio dei morfismi e delle classi è svolto in modo dettagliato nella teoria delle categorie.

Per categoria intendiamo un ente matematico dotato di una classe Ob(C) i cui elementi sono detti oggetti, di una classe Mor(C) i cui elementi sono detti morfismi e di un’operazione binaria, detta composizione di morfismi, che soddisfa la proprietà associativa e l’esistenza dell’identità.

Una categoria è detta piccola se la classe degli oggetti è un insieme.

Sono categorie gli insiemi, le funzioni, gli omomorfismi, gli spazi vettoriali, gli spazi misurabili, gli spazi topologici e le varietà differenziabili.

Sono detti funtori le mappe tra le categorie che ne conservano le strutture.

All’interno dei funtori, si possono distinguere quelli covarianti da quelli controvarianti.

La caratteristica di Eulero è un numero intero che descrive la natura della struttura algebrica. Inizialmente fu introdotta per i poliedri in tale modo:

Dove V, S e F sono il numero di vertici, spigoli e facce del poliedro.

Per tutti i poliedri semplicemente connessi tale valore è pari a 2.

Il concetto si può estendere a spazi topologici e a strutture algebriche ricordando che la caratteristica di Eulero di insiemi disgiunti è pari alla somma delle caratteristiche di Eulero dei singoli insiemi e che la caratteristica di Eulero del prodotto di spazi è pari al prodotto delle caratteristiche di Eulero dei singoli spazi.

Ad esempio, la retta, il piano e ogni spazio euclideo hanno caratteristica di Eulero unitaria così come il piano proiettivo, mentre la sfera ha caratteristica di Eulero pari a 2, la bottiglia di Klein, il nastro di Mobius e il toro hanno tale valore che è nullo.

In geometria differenziale sussiste il teorema di Gauss-Bonnet secondo il quale, per una varietà riemanniana bidimensionale è compatta, vale:

Dove compaiono la curvatura gaussiana, la curvatura geodetica del bordo e la caratteristica di Eulero della varietà.

Gruppi e teoria dei gruppi

La prima struttura algebrica che presentiamo è quella di gruppo, un insieme munito di un’operazione binaria che gode delle proprietà associativa, di esistenza dell’elemento neutro e di quello inverso.

Se vale anche la proprietà commutativa il gruppo è detto commutativo o abeliano.

La cardinalità del gruppo si chiama ordine e se è finita, allora il gruppo si dice finito.

L’importanza dei gruppi deriva dalla definizione di una teoria dei gruppi che è fondamentale per la comprensione della fisica contemporanea.

Ad esempio, i numeri interi dotati dell’operazione somma sono un gruppo abeliano, le permutazioni di un insieme sono un gruppo con l’operazione di composizione tra funzioni, uno spazio vettoriale è un gruppo abeliano rispetto alla somma tra vettori.

Si possono definire gruppi particolari sulle matrici come il gruppo ortogonale, formato dalle matrici quadrate ortogonali e il gruppo generale lineare formato dalle matrici quadrate invertibili; di seguito approfondiremo alcuni ...